第六章　§6.4　数列中的构造问题.docx

§6.4数列中的构造问题

重点解读数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.

题型一待定系数法

命题点1an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0)

例1已知数列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，则an=.

命题点2an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0)

例2已知数列{an}满足an+1=4an-12n+4，且a1=4，若ak=2024，则k等于()

A.253 B.506 C.1012 D.2024

命题点3an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1)

例3(2024·衡阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，则an=.

思维升华

形式

构造方法

an+1=pan+q

引入参数c，构造新的等比数列{an-c}

an+1=pan+qn+c

引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y}

an+1=pan+qn

两边同除以qn+1，构造新的数列a

跟踪训练1(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有()

A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n

B.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3

C.若a1=2，an=13an-1+13n(n≥

D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1

题型二取倒数法和取对数法

命题点1取倒数法

例4已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，则a

命题点2取对数法

例5(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10an2，若as·at=110a10，则s

A.10 B.12 C.16 D.18

思维升华(1)形如an+1=tansan+r的递推公式，两边同时取倒数转化为1an+1=rt·1an+st的形式，化归为b

(2)形如an+1=panq的递推公式，两边同取以p为底的对数，得logpan+1=qlogpan+1，将logpan看成整体，运用待定系数法求得logpan的表达式，再得出a

跟踪训练2(1)在数列{bn}中，b1=-1，bn+1=bn3bn+2，则数列{bn}的通项公式

(2)设数列{an}满足a1=100，an0，且10an=an?12(n≥2)，则an

特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式

an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程.

(1)若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定；

(2)若特征根方程只有一个实根α，则an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值决定.

典例(1)已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，则an＝.?

(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，则an＝.?

不动点法求an＋1＝a·a

若数列{an}满足an＋1＝a·an＋bc·an＋d的递推公式，则不动点方程为x＝ax＋bcx＋

(1)若不动点方程有两个不等实根α，β，则数列an?

(2)若不动点方程有一个实根α，则数列1an

(3)若不动点方程无实根，则考虑数列为周期数列.

典例(1)设{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2an，n∈N*，则a

(2)数列{an}满足a1＝2a，an＋1＝2a－a2an，a≠0，n∈N*，则an

答案精析

例17×4n-1-2

解析因为an+1=4an+6，

所以an+1+2=4an+8=4(an+2)，

又因为a1+2=5+2=7≠0，

所以an+1

所以数列{an+2}是以7为首项，4为公比的等比数列，所以an+2=7×4n-1?an=7×4n-1-2.

例2B[设an+1+λ(n+1)+u

=4(an+λn+u)，

所以an+1=4an+3λn+3u-λ，

所以λ

所以an+1-4(n+1)=4(an-4n).

又a1-4=0，

故{an-4n}为常数列，所以an=4n.

由ak=4k=2024，解得k=506.]

例3(n+1)2n-1

解析因为Sn=an+1-2n+1，

Sn-1=an-2n(n≥2)，

两式相减得Sn-Sn-1

=(an+1-2n+1)-(an-2n)，

即an+1=2an+2n.

两边同除以2n+1可得an+12n+1-an2

又S1=a2-22=2，得a2=6，

满足a222-

所以