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由一道课本习题引发的思考和探究

引例:(人教版七年级数学上册课本第100页例1)某车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母,1个螺柱需要配2个螺母,为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套,应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名?

解:设应安排x名工人生产螺柱,(22-x)名工人生产螺母.

2×1200x=2000(22-x)

解方程,得

答:应安排10名工人生产螺柱,12名工人生产螺母.

问题(人教版七年级数学上册课本第106页习题3.4第2题)制作一张桌子要用一个桌面和4条桌脚,1m3木材可制作20个桌面,或者制作400条桌腿,现有12m3木材应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子?

此题本意应该是考查学生对于题目出现两个量之间配套关系的实际问题的理解能力和掌握能力。七年级数学上册《教师教学用书》给出的参考答案如下:

解:设用xm3木材制作桌面。

4×20x=400(12-x)

解得

答:用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿。

然而,这道题的问题是“应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子?”,这并不能说明制作桌子最多的时候用料一定是刚好用完,或者刚好配套的时候制作的桌子最多,如果用书上的这个问法,那么似乎用不等式来处理更为妥当一点,或者也可以用一次函数最值来说明。

法一:当我们直接设可以制作x张桌子时,即可表示出制作桌面所需要的用料和制作桌腿所需要的用料,那么制作桌面和桌腿的用料之和不能超过12m3.

解:设可以制作x张桌子,则用木材制作桌面,用m3木材制作桌腿。

答:用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿.

法二:设用xm3木材制作桌面,可制作20x个桌面,那么12-xm3木材制作桌腿,可制作400(12-x)个桌腿,设制作y张桌子.我们就需要对制作的桌面和桌腿的数量进行分析和讨论。

解:设用xm3木材制作桌面,那么12-xm3木材制作桌腿,设制作y张桌子。

(1)若4×20x≤400(12-x),即0＜x≤10,

则y=20x

∵20＞0

∴y随x的增大而增大

∴当x=10时,y取最大值,最大值为200.

(2)若4×20x＞400(12-x),即x＞10,

则y=100(12-x)=-100x+1200

∵-100＜0

∴y随x的增大而减小

∵x＞10,且x是正整数

∴当x=11时,y取最大值,最大值为100.

综上所述,当x=10时,y取最大值,可制作的桌子最多,即用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿。

对于这道题目建议把问题“应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子?”换成“应怎样计划用料才能刚好配套生产桌子?”,这样更加清晰直接。同样的,在课本第107页第9题“某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼,每盒装2块大月饼和4块小月饼.制作一块大月饼要用0.05千克面粉,一块小月饼要用0.02千克面粉.现共有面粉4500千克,制作两种月饼应各用多少面粉,才能生产最多的盒装月饼?”,这道题的问法存在同样的问题,如果直接就说恰好配套生产盒装月饼的时候是生产盒装月饼最多的时候,那么这种做法说服力不够,略微有点武断。

显然,这两道题目运用不等式或一次函数来解决这道题目更有说服力,也更为恰当,而且不利于学生在后续的学习中建立不等式和函数最值的数学思维。所以还是建议把这两道题目的问法修改一下,直接提问效果更好。为了让学生感受到刚好配套生产的时候就是生产最多的时候,我们可以设计第二问给出另一种生产方案,让学生比较两种产方案,看哪种方案生产的最多,从而发现刚好配套的时候达到最值,为后面的学习做好铺垫。