湖南省长沙市明达教育集团2024−2025学年高三下学期第十次月考 数学试题（含解析）.docx

湖南省长沙市明达教育集团2024?2025学年高三下学期第十次月考数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则集合（???）

A． B． C． D．

2．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”．若复数满足，则的虚部为（????）

A． B．1 C． D．2

3．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必经过（???）

A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点

4．某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（???）

A．24 B．30 C．32 D．36

5．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（????）

A．为定值10 B．为定值6

C．最大值为18 D．与P的位置有关

6．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则该三角形的外接圆直径为（????）

A．14 B．7 C． D．

7．已知函数，.若，，.则下列关系式正确的是（???）

A． B． C． D．

8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于两点，若两点的横坐标之比是，则该双曲线的离心率为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A．，，是两两互斥的事件 B．

C．事件与事件相互独立 D．

10．已知等边的边长为6，分别为边的中点，将沿折起至，在四棱锥中，下列说法正确的是（???）

A．直线平面

B．当四棱锥体积最大时，平面平面

C．在折起过程中存在某个位置使平面

D．当四棱锥体积最大时，它的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为

11．对于函数，下列说法正确的是（????）

A．函数的单调递减区间为

B．

C．若方程有6个不等实数根，则

D．对任意正实数，且，若，则

三、填空题

12．在的二项展开式中，常数项为.

13．已知函数，，当时，取得最值，且当时，单调递增，则在上的零点个数为．

14．过点的直线与抛物线的一个交点是，与轴交于点，且，为抛物线上一动点，则的最小值是.

四、解答题

15．已知等差数列的公差为2，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值.

16．如图，P为圆锥的顶点，为底面圆O的直径，C为圆周上一点，D为劣弧的中点，.

??

（1）求证：；

（2）E在线段上且，当平面时，求平面与平面夹角的余弦值.

17．已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点.

（1）若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求；

（2）设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0.

18．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数无极值点，求实数的取值范围；

（3）若为函数的极小值点，证明：.

19．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.

附：若，取，.

（1）求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；

（2）若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.??系统正常工作的概率称为系统的可靠性.

①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？

②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.

参考答案

1．【答案】D

【详解】A：若，则，所以，

与矛盾，故A错误；

B：若，则，所以，

与矛盾，故B错误；

C：若，则，

由，得，所以，

与矛盾，故C错误；

D：若，则，

由，得，

所以，故D正确.

故选D

2．【答案】D

【详解】由题意知，得，即，

解得：，则的虚部为2．

故选D．

3．【答案】D

【详解】∵直线，过三点的平面记作，

，

∴与的交线必通过点和点，

故选D．

4．【答案】B

【详解】对甲、乙、丙、丁四位同学分成3组，

则三组各有位同学，共有种，

又因为甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，

且甲乙在一组时仅有1种分法，则共有种分组方法，

所以不同的参赛方案共有种.

故选