一轮复习立体几何-垂直.docVIP

第三十四课--------垂直问题

一、根底知识：

1.线线垂直的定义：两条直线成直角〔包括相交和异面〕

2.线面垂直的定义：如果一条直线L和一个平面α垂直，那么L和平面α内的任意一条直线都垂直。〔线面垂直线线垂直〕

3.线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面：.

4.直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。〔a⊥α，b⊥α?a∥b〕

②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线〔〕

5.面与面垂直的定义：两个平面所成的二面角为直角

6.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂,

7.面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

二、根本方法：

8.证明直线与直线垂直的方法：

〔1〕定义〔即两直线成直角〕

〔2〕线面垂直的性质：

〔3〕假设两直线共面，可用勾股定理或等腰三角形的三线合一

〔4〕

9.证明直线与平面垂直的方法：

〔1〕定义〔直线a与平面α内的任意直线都垂直〕

〔2〕判定定理：.

〔3〕面与面垂直的性质：

〔4〕

〔5〕

10.证明平面与平面垂直的方法：

〔1〕定义：两平面成直二面角

〔2〕判定定理：

四、特别提示：

11.在正方形ABCD中，E,F是中点那么AE⊥DF

，对棱垂直，如AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC

13.在正三棱柱中，底面三角形的中线与所对侧面垂直.如BD⊥面ACC1A1，CE⊥面ABB1

于平面，过一点有且只有一个平面垂直于直线

15.证明垂直问题时，最实质的是线与线的垂直

三、练习题：

m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是〔〕

A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，nα

C、m∥n，n⊥β，mαD、m∥n，n⊥β，m⊥α

2.a，b，c是直线，?，?是平面，以下条件中，能得出直线a⊥平面?的是〔〕

A.a⊥c,a⊥b，其中b??,c??B.a⊥b,b∥?C.?⊥?，a∥?D.a∥b,b⊥?

3.直角△ABC的斜边BC在平面?内，顶点A在平面?外，那么△ABC的两条直角边在平面?内的射影与斜边BC组成的图形只能是〔〕

4.P为Rt△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，那么直线PD与平面ABC.

A．垂直B.斜交C.成600角D.与两直角边长有关

5.设a、b是异面直线，给出以下命题：

①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；

②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；

③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；

④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。

其中错误的命题为

6.平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，

①：m⊥β；②：n⊥α;：③m⊥β或n⊥α；④：m⊥β且n⊥α。这四个结论中，正确的选项是

7.如果直线l⊥平面?，①假设直线m⊥l,那么m∥?；②假设m⊥?,那么m∥l；③假设m∥?,那么m⊥l；④假设m∥l,那么m⊥?,上述判断正确的选项是

8.如图，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD。PA=a。〔1〕求证：PC⊥CD。〔2〕求点B到直线PC的距离。

9.在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面

〔1〕假设D是BC的中点，求证AD⊥CC1；

〔2〕过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，假设AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB

10.如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H〔1〕判定四边形EFGH的形状，并说明理由

〔2〕设P是棱AD上的点，当AP为何值时，

平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明

11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1

〔1〕A1B1⊥平面BB1C1C；〔2〕