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华南师范大学

2014年招收入学考试试题

考试科目：高等代数

适用专业：数学一级学科、统计学一级学科

温馨提示：请将答案写在指定答题纸上，写在本试卷上无效.

一、写出下列数学定义.（20分）

1、数域

2、重因式

3、伴随矩阵

4、正交补

5、正交矩阵

n

二、设多项式f(x)=∏(x−i)−1，证明：f(x)在有理数域上不可约.（20

i=1

分）

1111

abcd

三、求行列式的值.（20分）

2222

abcd

4444

abcd

四、设矩阵，为矩阵

A为m×nBn×p，齐次线性方程组ABX=0与齐次线

性方程组BX=0同解的充要条件是什么？并证明你的结论.（20

分）

23

五、设A，M(R)为元素属于实数域R的2×2矩阵的标准欧氏

2

31

空间，在这个线性空间中，定义变换

σ(X)=AX−XA(∀X∈M(R))

2

1、证明：σ是一个线性变换；

2、求σ在标准基E、E、E、E下的矩阵；

11122122

3、求σ的本征值；

4、证明：存在一组规范正交基，使得σ在这组规范正交基下的矩

阵为对角矩阵.（25分）

112



六、设A=013，把A分解为一个正交矩阵和一个主对角线上元



221

素均为正数的上三角矩阵的乘积.（20分）

七、设V=V⊕V，V和V均为V的真子空间，证明：存性变换σ，

1212

使得σ2σ，并且Im(σ)=V,ker(σ)=V.（25分）

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