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求解Stein矩阵方程的位移型子空间算法研究

摘要

Stein矩阵方程在常微分方程、概率、模型降阶、神经网络和图像恢复等各领

域中都有着广泛的应用，同时该矩阵方程也是控制系统设计的计算工具。因此，研

究Stein矩阵方程的数值算法具有重要的科学意义和实用价值。

本文主要考虑用位移型子空间方法来求Stein矩阵方程的数值解，其中我们主

要研究的是位移的全局BiCG型算法以及位移的全局BiCR算法。

本文共分为五章，结构如下：

第一章，介绍关于Stein矩阵方程求解的研究背景和研究现状，以及位移型方

法的发展情况。

第二章，介绍研究本课题所涉及到的Krylov子空间方法的相关知识，并对文中

用到的符号进行说明。

第三章，研究位移全局BiCG型算法求解Stein矩阵方程。在采用全局BiCG和

全局BiCGStab算法求解Stein矩阵方程时，不同于以往将Stein矩阵方程的左边部分

看作一个整体进行求解。本章考虑到Stein矩阵方程的特殊结构，将其视为一个位移

系统，可由相应的种子系统生成。设定这两个矩阵方程的迭代初值为零矩阵，进一

步可以得到这两个矩阵方程的解所在的仿射空间，根据Krylov子空间的位移不变性

和两者残差共线，则在这两个矩阵方程之间搭建起桥梁。接下来通过种子系统的残

差表达式，推导得到相应位移系统的残差表达式及一系列相关量的表示形式。通过

BiCGSGBiCGBiCGStab

这个过程，便可分别建立位移全局（）算法以及位移全局

SGBiCGStab

（）算法。最后通过数值算例验证相应结果。

第四章，研究位移全局BiCR算法求解Stein矩阵方程。鉴于全局BiCR算法与

全局BiCG算法具有相似的迭代形式，仿照第三章位移方法的推导过程，得到位移

BiCRSGBiCR

全局（）算法。考虑到残差可能会出现震荡，为了使收敛曲线更光滑，

SGBiCRQMRQMR-SGBiCR

在算法上应用拟极小残差（）技术，进一步得到算法。

最后通过数值算例验证算法的有效性。

第五章，给出一些结论，并对未来工作进行了展望。

关键词：Stein矩阵方程，位移型子空间方法，全局BiCG算法，全局BiCGStab算

法，全局BiCR算法

ResearchonShiftedSubspaceAlgorithmsforSolvingStein

MatrixEquations

ABSTRACT

Steinmatrixequationsplayanessentialroleinvariousfieldssuchasordinary

differentialequations,probability,modelreduction,neuralnetworks,andimage

restoration.Thistypeofmatrixequationisalsoacomputationaltoolforcontrolsystem

design.Therefore,thestudyofnumericalalgorithmsforSteinmatrixequationshas

importantscientificsignificanceandpracticalvalue.

Inthisthesis,wemainlyconsiderusingtheshiftedsubsp