2021北京市中考数学一模分类汇编：几何综合（教师版）.pdf

2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合

1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM

＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接

DF．

（1）依题意补全图形；

（2）判断AB与DF的数量关系并证明；

（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．

【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；

（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；

（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB

为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG

＝140°，即可求解．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）AB＝DF，理由如下：

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

∵C关于点E的对称点为F，

∴CE＝EF，

又∵∠AEC＝∠FED，

第1页（共27页）

∴△AEC≌△DEF（SAS），

∴AC＝DF，

∵AB＝AC，

∴AB＝DF；

（3）如图2，连接AF，

∵AE＝DE，CE＝EF，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，

∴∠CAF＝100°＝∠CDF，

∴∠BAF＝140°，

∵DG＝DC，

∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，

∵FG＝FB，

∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，

∴两圆的交点为G，

∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，

∴△ABF≌△DFG（SSS），

∴∠BAF＝∠FDG＝140°，

∴∠CDG＝40°，

第2页（共27页）

同理可证△ABF≌△DFG，

∴∠BAF＝∠GDF＝140°，

∴∠CDG＝360°﹣100°﹣140°＝120°，

综上所述：∠CDG＝40°或120°．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，

平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键．

2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，

∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：∠CAD＝∠ABE；

（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加

以证明．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．

（3）结论：CD＝AE，证明△ABE≌△CAT（AAS），即可解决问题．

【解答】（1）解：图形如图所示．

（2）证明：∵CD∥BE，

∴∠CDE＝∠AEB，

∵∠ADC＝∠BAC，

∴∠ABC+∠ACB＝∠DAC+∠ACD＝∠CDE＝∠AEB，

第3页（共27页）

∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∠BAE+∠DAC+2∠ABC＝180°，

∴∠BAE+∠ABE+2∠ABC＝180°，

∴∠CAD＝∠ABE．

（3）解：结论：CD＝AE．

理由：在AE的延长线上取一点T，使得CD＝CT，

∵CD＝CT，

∴∠T＝∠CDT，

∵CD∥BE，

∴∠AEB＝∠T，

∵AB＝AC，∠ABE＝∠CAT，

∴△ABE≌△CAT（AAS），

∴AE＝CT，

∴CD＝AE．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题