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一阶倒立摆的PID控制仿真

摘要：本文主要介绍了一阶倒立摆系统的构成和数学模型，设计了PID控制器，在MATLAB环境下进行仿真，并对仿真结果进行分析。PID控制器具有结构简单、容易实现、控制效果好等特点，是迄今为止最稳定的控制方法。它所涉及的参数物理意义明确，理论分析体系完整，并为工程界所熟悉，因而在工业过程控制中得到了广泛应用。

关键词：一阶倒立摆：PID控制：MATLAB仿真：

0.前言：PID控制器以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。在工业过程控制中，目前采用最多的控制方式依然是PID方式，即使在日本，PID控制的使用率也到达84.5%。它具有容易实现、控制效果好等特点，同时它原理简单，参数物理意义明确，理论分析体系完整，并为工程界所熟悉，因而在工业过程控制中得到了广泛应用。尽管自1940年以来，许多先进控制方法不断推出，但PID控制器仍被广泛应用于冶金、化工、电力、轻工和机械等工业过程控制中。

1.一阶倒立摆的根本理论：

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。

1.1一阶倒立摆模型的数学建模

质量为m的小球固结于长度为L的细杆〔可忽略杆的质量〕上，细杆又和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F〔包括大小和方向〕能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型(如图1)

图1

1.2一阶倒立摆模型的过程分析：

如下图，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析(如图2和图3)

图2图3

(1)对小车有：F-F’sinθ=Mx’’(1)

(2)对小球有：

水平方向上运动为x+lsinθ

故水平方向受力为F’sinθ=m〔x+lsinθ〕’’

=m〔x’+lcosθθ’)’

=mx’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)(2)

由〔1〕、〔2〕两式得F=(M+m)x’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)

小球垂直方向上位移为lcosθ

故受力为F’cosθ-mg=m(lcosθ)’’

=-mlθ’’sinθ-mlcosθ(θ’)

即F’cosθ=mg-mlθ’’sinθ-mlcosθ(θ’)〔3〕

由〔2〕、〔3〕两式得

cosθx’’=gsinθ-lθ’’

故可得以下运动方程组：

F=(M+m)x’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)

cosθx’’=gsinθ-lθ’’

以上方程组为非线性方程组故需做如下线性化处理：

当θ很小时，由cosθ、sinθ的幂级数展开式可知，忽略高次项后，

可得cosθ≈1，sinθ≈θ，θ’’≈0

故线性