2025高考数学一轮复习解析几何讲义 第十七章 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（解析版）.docxVIP

第十七章圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

考情分析

1、圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有直线过定点问题、满足某条件的定点问题、定值问题以及定直线问题等，主要在解答题中考查，选择、填空题中考查较少，在解答题中考查时综合性强，难度较高.

知识梳理

【知识点1圆锥曲线中的定点、定值问题】

1．圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下：

(1)变量——选择合适的参变量；

(2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数；

(3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值.

一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸.

2．定点问题的求解思路：

一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；

二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点.

3．过定点问题的两大类型及解法

(1)动直线l过定点问题

解法：设动直线方程（斜率存在）为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=

(2)动曲线C过定点问题

解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．

4．定值问题的求解思路：

将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关.

5．求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论．

【知识点2圆锥曲线中的定直线问题】

1．圆锥曲线中的定直线问题

定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：

(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；

(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；

(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.

【题型1直线过定点问题】

【例1】（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2，不经过坐标原点O且斜率为1的直线l与C交于P，Q两点，A为线段PQ的中点，直线OA的斜率为-12

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B(2,0)，直线PB与C的另一个交点为M，直线QB与C的另一个交点为N，其中M，N均不为椭圆C的顶点，证明：直线MN过定点.

【思路】（1）根据焦距求出c，再设Px1,y1，Qx2,y2，

（2）设直线MN的方程为y=mx+t，Mx3,y3，Nx4,y4，表示直线PB的方程，联立直线与椭圆方程，消元求出x1，即可求出P点坐标，同理得到

【解析】（1）由椭圆C:x2a2+y2

设Px1,y1，Qx2

两式作差得，x1

所以y12-

所以kPQ?y

所以a2=2b2，则a2

故椭圆C的方程为x2

（2）由题意可知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=mx+t，Mx3,

则kPB=y3x

将其代入x22+y2

则x1x3

将x1=3x3

所以P3x3

所以-y42

即mx

整理得(3m+2t)x4-

因此直线MN的方程为y=mx-32-12，令

所以直线MN过定点32

【变式1-1】（2024·江西九江·二模）已知双曲线C:x2a2-y2

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点．

【思路】（1）根据离心率及a，b，c的平方关系得出b=2a，再由点P(3,4)在C上，可求解a2，b2，进而可得双曲线

（2）当l斜率不存在时，显然不满足条件．当l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，与方程联立C联立，可得根与系数的关系，表示出直线PA，PB的斜率k1，k2，由k1k2=1，结合根与系数的关系可得

【解析】（1）由已知得e=ca=5，

又点P(3,4)在C上，故9a

解得a2=5，

所以双曲线C的方程为：x2

（2）当l斜率不存在时，显然不满足条件．

当l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，与方程联立C联立，消去y得(4-k

由已知得k2≠4，且

设A(x1,y1)，

直线PA，PB的斜率分别为k1=y

由已知k1k2

即(k

所以-(k

化简得(m+3k-4)(5m-9k-12)=0，又已知l不过点