2025高考数学一轮复习解析几何讲义 第八章 抛物线（学生版）.docxVIP

第八章抛物线

考情分析

1、抛物线

考点要求

真题统计

考情分析

(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程

(2)掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)

(3)了解抛物线的简单应用

2023年新高考I卷：第22题，12分

2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5分

2023年全国乙卷（文数）：第13题，5分

2023年北京卷：第6题，4分

2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分

2024年北京卷：第11题，5分

抛物线是圆锥曲线中的重要内容，抛物线及其性质是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、面积问题等内容，在选择、填空、解答题都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，选择、填空题中难度不大，解答题中难度偏大，一般以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.

知识梳理

【知识点1抛物线及其性质】

1．抛物线的定义

(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准

方程

y2=2px(p0)

y2=-2px(p0)

x2=2py(p0)

x2=-2py(p0)

图形

顶点

(0,0)

(0,0)

轴

对称轴y=0

对称轴x=0

焦点

准线

离心率

e=1

e=1

开口

开口向右

开口向左

开口向上

开口向下

焦半径

范围

x≥0

x≤0

y≥0

y≤0

3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异

抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0e1,双曲线的离心率范围是e1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.

【知识点2抛物线标准方程的求解方法】

1．抛物线标准方程的求解

待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

【知识点3抛物线的焦半径公式】

1．焦半径公式

设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.

(1)抛物线：，；

(2)抛物线：，；

(3)抛物线：，；

(4)抛物线：，.

注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半

径公式.

【知识点4与抛物线有关的最值问题的解题策略】

1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.

(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.

【方法技巧与总结】

1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

2．抛物线上一点P到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.

【题型1抛物线的定义及其应用】

【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（????）

A．4 B．6 C．7 D．9

【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（???）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为?1的直线与直线x=?1交于点A，点M在抛物线上，且满足MA

A．1 B．2 C．2 D．2

【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C的焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为（??????）

A．y2=?6x B．y2=6x C．

【题型2抛物线的标准方程】

【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点Aa,2为抛物线x2=2pyp0上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则

A．12 B．1 C．2

【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点2,?3，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（