2025高考数学一轮复习讲义 第01讲 平面向量的概念及线性运算（学生版）.pdfVIP

第讲平面向量的概念与线性运算

01

知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

交换律：a＋b＝b＋a；

加法求两个向量和的运算结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

求a与b的相反向量

减法a－b＝a＋(－b)

－b的和的运算

|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa

λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝

求实数λ与向量a的积与a的方向相同；当λ0

数乘λa＋μa；

的运算时，λa与a的方向相反；

λ(a＋b)＝λa＋λb

当λ＝0时，λa＝0

1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共

起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．

2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同

类项的运算，在计算时可以进行类比．

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，

用向量共线定理求解则更加简洁．

→→→

（1）若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

→→→

1

（2）P为线段AB的中点⇔OP＝(OA＋OB)．

2

4.向量的坐标运算

（1）两点间的向量坐标公式：



，，终点坐标始点坐标

Ax,yBx,yxx,yy

1122AB2121

（2）向量的加减法



ax,y，bx,yabxx，yy，abxx，yy

112212121212

（3