2025高考数学一轮复习讲义 第07讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题（教师版）.docxVIP

第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题

知识梳理

奔驰定理

如图，已知P为内一点，则有.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.

奔驰定理的证明

如图：延长与边相交于点

则

奔驰定理的推论及四心问题

推论是内的一点,且,则

有此定理可得三角形四心向量式

（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.

（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.

（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.

奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

已知点在内部，有以下四个推论：

①若为的重心，则；

②若为的外心，则；或

③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.

④若为的垂心，则，或

研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.

考点一、奔驰定理与四心问题综合

【典例精讲】

1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

A．重心外心垂心 B．重心外心内心

C．外心重心垂心 D．外心重心内心

【答案】C

【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.

??

考点：向量在几何中的应用.

2．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.

【详解】，

令，

则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，

即在的平分线上，

，共线，

故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，

故选：B

3．设是所在平面内的一点,若且.则点是的（??）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】A

【详解】由，得，

即，

所以，

设D为AB的中点，则，故；

因为，

所以，

所以，

设BC的中点为E，同上可知，

所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．

所以P是的外心．选A．

【点睛】三角形“四心”的向量表示

①在中，若或，则点是的外心；

②在中，若，则点是的重心；

③在中，若，则直线过的重心；

④在中，若，则点是的垂心；

⑤在中，若，则直线通过的内心．

4．已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】D

【解析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得从而得到结论．

【详解】

两边同乘以向量,得

即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心，

故选D.

【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．

5．设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】D

【详解】试题分析：,,

,,

则动点的轨迹一定通过的垂心．故C正确．

考点：1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．

【巩固练习】

1．若是内一点，且，则为的（）

A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心

【答案】A

【分析】根据条件，可得，即，，从而可得答案.

【详解】因为，

所以，

即，

则，，

即是三条高线的交点，为的垂心.

故选：A.

2．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.

【详解】在，上分别取点，，使得，，则．

以，为邻边作平行四边形，如图，

??

则四边形是菱形，且．

为的平分线．??

，?????

即，

．

，，三点共线，即在的平分线上．

同理可得在其它两角的平分线上，

是的内心．

故选：B．

3．已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角