2025年中考数学总复习《圆中的最值问题》专项测试卷(附答案).docx

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2025年中考数学总复习《圆中的最值问题》专项测试卷(附答案)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．

(1)求证：点为的中点；

(2)若的半径为5，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．

2．如图，在中，，，以点为圆心，2为半径画圆，过点作的一条切线，切点为，连接．将绕点按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为．

(1)当弧的长为时，求的度数，并求出此时线段扫过的面积；

(2)如图，当时，求证：是的切线；

(3)直接写出的最大值与最小值的差．

3．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．

【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：

（1）根据小明的思路，请你完成证明．

（2）若圆的半径为8，则的最大值为________．

【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．

【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）．

4．如图，为等边的外接圆，半径为6，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，．

(1)求证：是的平分线；

(2)四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

(3)若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值；

5．问题提出

（1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是，最小值是；

问题探究

（2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由．

问题应用

（3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．

??

6．已知：如图1，在平面直角坐标系中，，以为圆心，以为半径的圆交轴于点，连结并延长交于点，动点在线段上运动，长为的线段轴（点在点右侧），连接．

??

(1)求的半径长和点的坐标：

(2)如图2，连接，交线段于点，

①求所在直线的解析式：

②当时，求点的坐标；

③点在线段上运动的过程中，请直接写出的最小值和最大值．

7．已知的半径为5，是长为8的弦，于点，点在的延长线上，且．弦从图1的位置开始绕点逆时针旋转，在旋转过程中始终保持，如图2．

[发现]在旋转过程中，

（1）的最小值是__________，最大值是__________．

（2）当时，旋转角__________．

[探究]若绕点逆时针旋转，如图3，求的长．

[拓展]如图4，当切于点交于点于．

（1）求的长．

（2）此时__________，__________．

8．如图，在中，，，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是上任意一点，连接．将绕点O按顺时针方向旋转，交于点D，连接．

(1)当与相切时，

求证：是的切线；

求点C到的距离．

(2)直接写出的最大值与最小值的差．

9．如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接．

(1)若，求的度数．

(2)如图2，连接，若，求的长．

(3)如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值．

10．已知：矩形的边长为2，点P在射线上，过点O、P的与相切于点P．

(1)如图1，若点B在对角线上，且，则的长度是______；

(2)如图2，以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系，，设，

①求点B坐标（用含n的代数式表示）．

②连接，设且，当M取最大值时，作于E交于F，与交于G，求的值．

11．如图，的内接三角形中，，，，点在圆上运动．

(1)求证：为的切线；

(2)若三角形是等边三角形时，，求的最大值；

(3)如图，连接，，当，，时，设此时的面积为，的面积为，求的值．

12．如图1所示，A、B、C、D四点在上逆时针顺序分布，且满足．

(1)求证：点A到两边的距离相等；

(2)如图2，已知与相交于点，为的直径．若，，求的长．

(3)已知，与相交于点，直线与直线相交于圆外一点G，若线段为的一条高，试求：的最小值．

13．如图甲，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点D．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的值；

(3)如图乙，在（2）的条件下，延长至N，使在上