2024-2025学年广东省广州市第七中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年广东省广州市第七中学高一下学期期中考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a=(?3,1)，b=(3,λ).若

A.?1 B.1 C.?3 D.3

2.在复数范围内，复数z=?5i1?2i

A.25 B.5 C.2

3.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为?ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=O

A.64π B.48π C.36π

4.ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2bcosC=2a+c，则角B的值为

A.30° B.60° C.120°

5.设向量a,b满足a+b=

A.1 B.2 C.3 D.5

6.已知正三棱台的下底面边长为23，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为π3，则该三棱台的体积为

A.174 B.133 C.143

7.如图，三棱锥A?BCD中，?BCD是等边三角形，且AB=AC=AD，点E在棱AB上，点F在棱CD上，并使AEEB=CFFD=λ，其中0λ，设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD

A.π6 B.π4 C.π2 D.

8.如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若MN=R=2r，MN//平面OAB，且AB的最小值为6，则该圆台的体积为(????)

A.733π B.15π

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是(????)

A.z?z为纯虚数

B.若|z|=2，则1z=12

C.若z+i=1，则Z的轨迹是以(0,?1)

10.如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，(????)

A.直线AB与CD垂直 B.直线CD与EF平行

C.直线EF与GH异面 D.直线GH与AB成60°

11.如图，已知棱长为2的正方体ABCD?A′B′C′D′中，E,F分别是棱B′C′，CC′的中点，G为棱CD上一点，动点P在线段A′D上，动点

A.曲线Ω的长度为3π

B.存在P,Q，使得PQ//平面AB′C

C.VP?D

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图为某折扇展开后的平面示意图，已知AO=3，OC=1，∠AOB=120°，则AD?OC=

13.如图，斜三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，∠A

14.在?ABC中，有以下四个说法：

①若?ABC为锐角三角形，则sin

②若AB，则

③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；

④存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；

其中正确的说法有??????????(把你认为正确的序号都填在横线上)．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，C=3π4

(1)求sinB

(2)若c=5，求△ABC的面积．

16.(本小题15分)

在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，E，F分别为棱PC，AB的中点．

(1)求证：EF//平面APD

(2)设平面PAD∩平面PBC=l，求证：l/\!/平面ABCD．

17.(本小题15分)

如图，在?ABC中，AC=2，AB=4.点D在边BC上，且CD

(1)t=12，A=2π

(2)t=15，AD恰为BC边上的高，求角

(3)AD=3，求t的取值范围．

18.(本小题17分)

记?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，如图，已知b+ca=sinA?sin∠ABC

(1)求sin∠BDC

(2)若sin∠ADB=2sinA，求线段

19.(本小题17分)

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为φP=1?12π∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk?1PQk

(1)求三棱锥P?ABC在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=4，三棱锥P?ABC在顶点C处的离散曲率为38，求点

(3)在(2)的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为306，求BQ的长度．

参考答案

1.A?

2.B?

3.A?

4.C?

5.A?

6.D?

7.C?

8.C?

9.BCD?

10.BCD?

11.BCD?

12.3