2024-2025学年广东省东莞市第十三高级中学等三校高一下学期期中联考数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年广东省东莞市第十三高级中学等三校高一下学期期中联考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z满足z?1?i=2i，则复数

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.在?ABC中，点E在线段BC上，且BC=3BE，则AE

A.23AB+13AC B.1

3.如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是(????)

A.B.C.D.

4.在三角形ABC中，a=2，B=π3，b=23，则

A.π6 B.π2 C.π6或π2

5.若圆台的上底面面积与下底面面积分别为5π,20π，且圆台的体积为703

A.6 B.42 C.3 D.

6.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若?ABC的面积为3a2

A.π2 B.π3 C.π4

7.已知?ABC的边长均为1，点D为边AB的中点，点E为边BC上的动点，则AD?AE的取值范围是(????)

A.18,14 B.14,

8.刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到sin1°的近似值为(????)

A.π90 B.π180 C.π270

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列关于平面向量的说法中不正确的是(????)

A.已知非零向量a，b，c，若a//b，b//c，则a//c

B.若AB=CD，则ABCD为平行四边形

C.若a?c=b

10.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD?A1B1C1D1

A.水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状

B.水面四边形EFGH的面积不改变

C.棱A1D1始终与FG平行

D.当E

11.在锐角?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，且3tanA?1

A.C=π3 B.a的取值范围为12,2

C.a+bc的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若复数z=1+2i+3i2+4i3

13.定义两个向量a,b的运算“?”:a?b=absinθ与运算“?”：a?b=abcosθ，其中

14.四棱锥P?ABCD的底面是边长为1的正方形，如图所示，点E是棱PD上一点，PE=34PD，若PF=λPC且满足BF//平面ACE，则λ=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分

已知复数z=2m2?3m?2+

(1)若z为实数，求m的值；

(2)若复数z在复平面内对应的点在直线y=x上，求m的值．

16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A,?B,?

(1)求sinC

(2)若△ABC的面积为372，求AB边上的中线

17.(本小题15分

如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，PA是四棱锥P?ABCD的高，且PA=3,E是PA的中点；

??

(1)求证平面BDE；

(2)求四棱锥P?ABCD和三棱锥C?BDE的体积．

18.(本小题17分

如图，在?ABC中，AD=25AB，点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近点C

??

(1)用a、b表示EF、CD；

(2)若a=3，b=4，且a与b的夹角为60°

(3)如果∠ACB=60°，AC=2，且CD⊥

19.(本小题17分)

在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中CD=100米，

(1)若BD=100

(2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？

(3)在(2)条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？

参考答案

1.B?

2.A?

3.D?

4.B?

5.C?

6.D?

7.B?

8.B?

9.BC?

10.ACD?

11.AC?

12.?2?

13.8