高中数学 第二章　2.2基本不等式　教案2.docx

优秀教案系列

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2.2基本不等式

教学分析

教学分析

教学目标

1.理解基本不等式以及使用基本不等式的条件.

2.结合具体实例,会用基本不等式比较大小、证明不等式、解决最值问题.

3.了解基本不等式的简单拓广.

4.培养和提升学生的数学建模、数学运算和逻辑推理素养.

评价目标

知道基本不等式的内容,明确基本不等式的使用条件、证明方法和几何解释,会用基本不等式比较大小、证明不等式、解决最值问题.

教学重难点

重点:基本不等式的定义,用基本不等式解决最值问题;

难点:用基本不等式解决最值问题.

教法学法

尝试指导与合作交流、探究相结合.

课时安排

1课时

教学准备

多媒体课件、教材

教学

教学设计

[导入新课]

做实验时,某同学想用一个两臂不一样长的天平测量物体的质量.他会怎么做呢?

1.若该同学每次都将物体放在左、右两个盘中各测一次,再把两次结果平均一下,以其结果作为物体的质量.你认为这种称量、计算方法是否正确?

2.设天平的两臂长分别为l1,l2,两次称量的结果分别为a,b,则该同学认为物体的质量为a+b

3.在研究这个实际问题时,得到了两个式子:a+b2和ab.若设a,b为正数,则a+b2称为a,b的算术平均数,ab称为

[讲授新课]

当a0,b0时,有a+

当且仅当a=b时,等号成立.

通常称不等式(1)为基本不等式.

其中,a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,

1.基本不等式的证明方法有哪些?

可以用比较法、综合法、分析法证明基本不等式.

2.你对基本不等式的理解有哪些?

(1)a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式,只要满足a0,b0就可以;(2)基本不等式的叙述中,“正数”二字不能省略,如当a=-3,b=-4时,基本不等式不成立;(3)“当且仅当a=b时,等号成立”的含义是当a0,b0时,a=b?a+b2=ab,a≠b?a+b2ab;(4)基本不等式的变形有:①若a0,b0,则a+b≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.②若a0,b0,则

1.比较大小

例1若a,b∈(0,+∞),则下列各式中不一定成立的是()

A.a+b≥2abB.ba+

C.a2+b2ab≥2

答案D

解析(方法1)∵a,b∈(0,+∞),由a+b2≥ab,得a+b≥2ab,当且仅当

∴A项中不等式成立;

∵ba+ab≥2ba·ab=2,当且仅当a=b

∵a2+b2ab≥2abab=

∴C项中不等式成立;

∵2aba+b≤

(方法2)令a=1,b=4,则2aba+b=85,ab

小结运用基本不等式比较大小时,一般有两种处理方法:

(1)在基本不等式成立的条件下,进行合理的变形推导.

(2)可以针对所给条件,结合基本不等式的使用条件,选取合适的特殊值,举反例排除.注意,特殊值法只能作排除使用,不能作不等式成立的依据.

跟踪训练1若x0,y0,则下列式子一定成立的是()

A.xy≥x+y

C.2xyx+y≥xy

答案D

解析由基本不等式可得x+y2≥xy,当且仅当x=y时,等号成立

因为x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2,

所以x2+y22≥x+y22,故x2+y22

因为x0,y0,由基本不等式可得x+y≥2xy=2xyxy,2xyx+y≤

因为x2+y22≥xy,2(x2+y2)≥

由不等式的性质,得(x2+y2)≥xy(x+y)2,则x2+y2≥(x+y)xy,

所以x2+y2xy≥x+y,D

2.证明不等式

例2选用恰当的证明方法,证明下列不等式:

已知a0,b0,c0,求证:a2b+

证明因为a,b,c0,所以a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2

所以a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2

所以a2b+b2c+c2

小结利用基本不等式证明不等式的注意点:

(1)使用基本不等式时,要注意基本不等式使用的条件:一是基本不等式使用的前提条件是a0,b0,等号成立的条件是a=b.二是多次使用基本不等式时,要注意等号成立的条件要一致,若不一致则等号取不到;

(2)不等式的性质在不等式证明过程中经常使用,要注意不等式性质使用的正确性;

(3)有时不等式的证明过程中要应用“1”的代换,通过“1”的代换使题目能清晰地应用基本不等式证明.

跟踪训练2已知a,b,c均为正实数,当a+b+c=1时,求证:1a-11b-11c-1≥8.

证明因为a+b+c=1,所以1a-11b-11c-1=a+b+ca-1a+