专题4反比例函数—4.9反比例函数之新定义问题-2021年鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练-A4.docxVIP

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【经典例题1】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；

（3）如图3，C是函数y＝图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

【解析】（1）证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，

∴∠OAP+∠APO＝135°，

∵∠APB＝135°，

∴∠APO+∠OPB＝135°，

∴∠OAP＝∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2＝OA?OB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OA?OB＝OP2，

∴，

∵P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP＝∠BOP＝α，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP＝∠OPB，

∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°﹣α，

即∠APB＝180°﹣α；

过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：

则S△AOB＝OB?AH＝OB?OAsinα＝OP2?sinα，

∵OP＝3，

∴S△AOB＝sinα；

（3）设点C（a，b），则ab＝4，

过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：

BC＝2CA不可能；

当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：

∵BC＝2CA，

∴，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴＝，

∴OB＝3b，OA＝，

∴OA?OB＝?3b＝＝18，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP＝＝＝3，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（3，3）；

②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：

∵BC＝2CA，

∴AB＝CA，

在△ACH和△ABO中，

，

∴△ACH≌△ABO（AAS），

∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，

∴OA?OB＝a?b＝2，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP＝＝，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（1，﹣1）；

综上所述：点P的坐标为：（3，3），或（1，﹣1）．

练习1-1定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM?ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．

（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；

（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；

（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．

【解析】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，

∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，

∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，

∴∠OMP+∠MPO＝150°，

∵∠MPN＝150°，

∴∠MPO+∠OPN＝150°，

∴∠OMP＝∠OPN，

∴△MOP∽△PON，

∴，

∴OP2＝OM?ON，

∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；

（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，

∴OM?ON＝OP2，

∴，

∵P为∠AOB的平分线上一点，

∴∠MOP＝∠NOP＝α，

∴△MOP∽△PON，

∴∠OMP＝∠OPN，

∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，

即∠MPN＝180°﹣α；

过点M作MH⊥OB于H，如图2，

则S△MON＝ON?MH＝ON?OMsinα＝OP2?sinα，

∵OP＝3，

∴S△MON＝sinα；

（3）设点C（a，b），则ab＝4，

过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；

Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：

BC＝3CA不可能，