第5讲 计数原理与排列组合 解析版-A4.docxVIP

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第5讲计数原理与排列组合

【复习目录】

一、捆绑法

二、插空法

三、特殊元素法

四、间接法

五、隔板法

六、倍缩法解决部分定序问题

七、不平均分组问题

八、平均分组问题

九、部分平均分组问题

十、分类分步问题

十一、特殊位置法

十二、染色问题

十三、排数问题

【知识归纳】

1．两个计数原理

分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法

分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法

2.排列与组合的概念

名称

定义

排列

从n个元素中取出m(m≤n)个元素

按照一定的顺序排成一列

组合

作为一组

3.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数

组合数

定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数

公式

Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝eq\f(n！,?n－m?！)

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n?n－1??n－2?·…·?n－m＋1?,m！)＝eq\f(n！,m！?n－m?！)

性质

Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1

Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)，Ceq\o\al(n,n)＝1，Ceq\o\al(0,n)＝1

【题型归纳】

题型一、捆绑法

1．（23-24高二下·河南濮阳·期末）某博物馆新增包括在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且都是清朝的．现将这些文物摆成一排，要求必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法种数为（????）

A．1440 B．2160 C．2880 D．3050

【答案】C

【分析】用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，再利用分步乘法原理即可得结果.

【详解】先排列5件是清朝的，由于必须相邻，用捆绑法得排列数有：；

由于唐朝的3件文物不得相邻，用插空法得排列数有：；

由乘法原理得：所有不同的摆法种数为，

故选：C.

2．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲?乙?丙?丁?戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（????）种不同的情况.

A．18 B．24 C．36 D．48

【答案】B

【分析】由题意知将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，结合分类计数原理计算即可求解.

【详解】由题意知，将丙和丁看成一个整体，

分4种情况分析：

①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况；

②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊，

所以甲和乙为第4、5名，有种情况；

③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊，

所以甲和乙为第2、5名，有种情况；

④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊，

所以甲和乙为第2、3名，有种情况；

所以共有种情况.

故选：B

3．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（????）种.

A．48 B．72 C．216 D．432

【答案】D

【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果.

【详解】先将个将军俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，

将个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，

将个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，

再将所得个元素作全排，有种排法，所以不同的排法共有种.

故选：D.

题型二、插空法

4．（2024·山东·模拟预测）某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（???）

A．120 B．72 C．64 D．48

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.

【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为.

故选：B

5．（23-24高二下·云南大理·期中）在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（???）

A．120种 B．72种 C．48种 D．24种

【答案】B

【分析】借助插空法计算即可得.

【详解】先排三名男生，共有种站法，此时三名男生会产生四个空位，

则女生共有种站法，故共有种站法.

故选：B.