新北师大版2024七年级数学下册解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型（4类热点题型讲练）.docxVIP

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解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型

目录

TOC\o1-3\h\u【模型一三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】 1

【模型二三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】 3

【模型三三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】 8

【模型四三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】 12

【过关检测】 15

【模型一三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】

1）两内角平分线的夹角模型

图1图2图3

条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。

证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。

∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。

2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1

条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。

证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。

∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。

3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2

条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。

证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。

∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。

例1．如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则．

例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．

如图①，在中，、分别是和的角平分线．

解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案）

(2)若，求出的度数；

拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．

【模型二三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】

图1图2

1）一个内角一个外角平分线的夹角模型

条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．

证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。

∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。

2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）

条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．

证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。

∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=

例1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．

(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；

如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，与∠A度数的比是??；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．

例2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）特例感知

（1）如图1，是的平分线，是外角的角平分线．

①若，则________；

②判断与的数量关系，并说明理由．

类比迁移

（2）如图2，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点（为正整数）．设，则________．

拓展应用

（3）如图3，在中，是的外角，的三等分线与的三等分线交于点．若，，请直接写出的度数．（用含、的式子表示）

【模型三三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】

图1图2图3