新北师大版2024七年级数学下册解题技巧专题：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型（3类热点题型讲练）.docxVIP

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解题技巧专题：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型

目录

TOC\o1-3\h\u【模型一三角形中的倒角模型之“A”字模型】 1

【模型二三角形中的倒角模型之“8”字模型】 3

【模型三三角形中的倒角模型之燕尾模型】 4

【过关检测】 8

【模型一三角形中的倒角模型之“A”字模型】

如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。

条件：如图，在?ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；

结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E

证明：①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°。

②在?ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在?ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。

例1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（???）

A． B． C． D．

例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

????????

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.

(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；

(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.

【模型二三角形中的倒角模型之“8”字模型】

图1图2

1）8字模型（基础型）

条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。

证明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；

在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；

∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D；

在?ABO中，AB＜AO+BO；在?COD中，CD＜CO+DO；

∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。

2）8字模型（加角平分线）

条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D

证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD

∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②

①+②得2∠P=∠B+∠D，则，即2∠P=∠B+∠D

例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（????）

A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D

例2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系．

（2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是．

【模型三三角形中的倒角模型之燕尾模型】

图1图2

基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①；②。

证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；

又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。

延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。

即：，故。

拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；结论：∠O=（∠A+∠C）。

证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；

根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；

∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。

例1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（??）

A． B． C． D．

例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明；

【应用】

（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数；

（2）如图③，，，求的度数．

【过关检测】

一、单选题

1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，与相交于O，若，，则的度数是（???）

A． B． C． D．

2．（24-25八年级上·广西贵