《线性代数》8向量-教学课件（非AI生成）.ppt

第二章n维向量理解n维向量的定义,掌握向量的线性运算理解向量组线性相关、线性无关的定义，并掌握其相关理论理解向量组的极大无关组与向量组的秩的定义，并熟练掌握向量组的秩和极大线性无关组的求法理解向量的内积和正交的定义，掌握线性无关向量组正交规范化方法和正交矩阵的判定以及性质理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标、过度阵等概念，掌握其计算方法n维向量及其线性运算一、n维向量的概念1.定义:行向量列向量第i个分量第二章分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，矩阵A的行向量矩阵A的列向量0=(0,0,···,0)零向量负向量注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；2．当没有明确说明是行向量还是列向量时，一般当作列向量.3．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；向量加法：向量称为向量的和，记为向量减法：数乘向量：设k为数域P中的数，向量称为向量与数k的数量乘积。记为二、n维向量的线性运算线性运算满足8条运算规律.注：（1）对任意的向量存在唯一的零向量使得（2）对任意的向量存在唯一的负向量使得（4）如果则（3）向量组的线性相关性线性相关性的定义1.定义1:例向量是下列向量的线性组合.例向量就不是向量的线性组合。因对任意的注意：1，零向量可以由任何向量组线性表示2，向量组中的任何一个向量都可以由整个向量组线性表示。向量组------同维数的向量所组成的集合向量组中各元素间的关系如何2.定义2:0(1)当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关.(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.(3)任一含有零向量的向量组线性相关.3.讨论向量组的相关性：*注解：O设系数行列式为方程组有非零解，即有非零的数O故解：即OO定理：n个n维向量线性相关的行列式值为0O=O=O即：系数行列式为向量组的等价1.定义1:设有两个n维向量组若向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表示；若向量组（I）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价。例1：设n维向量组证：1)反身性：2)对称性3)传递性任何向量组均与自己等价；向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。相关性的判定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理证：0O证：00O所以表示式惟一。****