专题13二次函数解答压轴题（共30道）.docx

专题13二次函数解答压轴题（30道）

一、解答题

1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．

(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案；

（2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案；

（3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案．

【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，

，

解得：，

抛物线的解析式为：；

（2）解：，

设，，

，

，

，

点，

，

，

点的坐标为，

点是轴上方抛物线上一点，

，

解得：（舍去）或，

；

（3）解：设点，直线的解析式为，

，

，

解得：，

直线的解析式为，

当时，，

，

，

，

在抛物线中，当时，，

，

，

，

设点的坐标为，

，，

，

，

，

，

解得：，

点的坐标为，

．

【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键．

2．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．

????

(1)求抛物线的解析式．

(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．

(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；

（2）分别过，向轴作垂线，垂足为，，根据证得，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可；

（3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设由可得，，，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或，从而可得点坐标．

【详解】（1）解：把和代入到解析式中可得，解得，

抛物线的解析式为：；

（2）直线中，令，则，所以，直线中，令，则，所以，

分别过，向轴作垂线，垂足为，，

??

根据题意可得，

轴，轴，

和为直角三角形，

在和中，

，

，

，

设，

则，

，，

从而，，

则有，解得（舍去），或，

故点的横坐标为：；

（3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，

，

可设，则，

∴，

则，

??

设，

轴，

，

，

，，，

，，，

，

，，

，

，

，，则，

，，

，

代入抛物线解析式中有：，

解得：或，

当时，，

当时，．

【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题．

3．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．

(3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)或

【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果；

（2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果；

（3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果．

【详解】（1）解：由题意得，

；

（2）解：如图1，

作于，作于，交于，

，，

，

，

抛物线的对称轴是直线：，

，

，

，

，

故只需的边上的高最大时，的面积最大，

设过点与平行的直线的解析式为：，

当直线与抛物线相切时，的面积最大，

由得，

，

由△得，

得，

，

，

，

，

，

，

，

；

（3）解：如图2，

当点在线段上时，连接，交于，

点和点关于对称，

，

设，

由得，，

，（舍去），

，

∵，

，

，

四边形是平行四边形，

，，

∴；

如图3，

当点在的延长线上时，由上可知：，

同理可得：，

综上所述：或．

【点睛】本题考查了