高考数学 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合 曲线方程及曲线轨迹 （附答案解析）（2015-2024）.docxVIP

高考数学

圆锥曲线

（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合

曲线方程及曲线轨迹

1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（????）

A． B．点在C上

C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，

【答案】ABD

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.

【详解】对于A：设曲线上的动点，则且，

因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.

对于B：又曲线方程为，而，

故.

当时，，

故在曲线上，故B正确.

对于C：由曲线的方程可得，取，

则，而，故此时，

故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.

对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，

故，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.

2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（????）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

【答案】A

【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.

【详解】设点，则，

因为为的中点，所以，即，

又在圆上，

所以，即，

即点的轨迹方程为.

故选：A

3．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（????）

A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线

【答案】C

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【详解】由题意得，即，

对其进行整理变形：

，

，

，

，

所以或，

其中为双曲线，为直线.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知曲线.（????）

A．若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n0，则C是圆，其半径为

C．若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n0，则C是两条直线

【答案】ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.

【详解】对于A，若，则可化为，

因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

5．（2020·全国·高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（????）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

【答案】A

【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.

【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

??

则：，设，可得：，

从而：，

结合题意可得：，

整理可得：，

即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.

故选：A.

【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A．① B．② C．①② D．①②③

【答案】C

【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.

【详解】由得,,,

所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过.结论②正确.

如图所示,易知,

四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选