山东省菏泽市第一中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）.docx

山东省菏泽市第一中学2024?2025学年高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．若函数在处可导，且，则（????）

A． B． C．1 D．2

2．甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（???）

A．36种 B．72种 C．144种 D．288种

3．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（???）．

A．3 B．2 C．1 D．0

4．函数的大致图象是（????）

A．???? B．??

C．?? D．

5．已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（????）

A． B．

C． D．

6．已知函数，则（???）

A．2024 B． C．2025 D．2026

7．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（???）

A． B．

C． D．

8．已知对恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（????）

A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减

C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值

10．设函数，则（????）

A．函数有两个极值点

B．函数有两个零点

C．直线是曲线的切线

D．点是曲线的对称中心

11．设函数，则（????）

A．当时，是的极大值点

B．当时，有三个零点

C．存在a，使得点为曲线的对称中心

D．存在a，b，使得为曲线的对称轴

三、填空题（本大题共3小题）

12．函数在处有极值10，则实数．

13．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是．

14．对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是．

四、解答题（本大题共5小题）

15．4名男生和3名女生站成一排.

(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？

(2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？

(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？

16．已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，.

17．已知函数，其中.

(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；

(2)讨论的单调性.

18．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：函数的图象在x轴上方.

19．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若在区间内有最小值，求的取值范围；

(3)若关于的方程有两个不同的解，，求证：．

参考答案

1．【答案】C

【详解】.

故选C

2．【答案】C

【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是，

共有3种不同的方法；

第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有种不同的方法；

第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有种不同的方法；

由分步计数原理可知，共有种．

故选C

3．【答案】B

【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”，

则有，即，

整理得，解得，

所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2.

故选B.

4．【答案】D

【分析】根据题意，利用函数的定义域，以及时，且，结合选项，即可求解.

【详解】由函数，可得函数的定义域为，且，

故排除B,C,当时，且，排除A.

故选D.

5．【答案】B

【详解】记在上的零点为，

由在上的图象，知当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

因为在唯一的零点是1，即，

所以当时，，当时，．

又为偶函数，所以当时，，当时，，

所以的解集为．

故选B．

6．【答案】B

【详解】由，可得．

令，得，

又，所以图象的对称中心为，

，，，

．

故选B.

7．【答案】A

【详解】令，

则，

，，

在上单调递增，

，即，

.

故选A.

8．【答案】A

【详解】设，则.

∵时，，，∴，故在上单调递增.

∵对恒成立，∴当时，，则有，

当时，可等价变形为.

∵在上单调递增，且，（），

∴由可得，即对恒成立.

设，则.

当时，，，，故.

∴在上单调递减，

∴当时，.

∵对恒成立，

∴，即实数的取值范围是.

故选A.

9．【答案】AD

【详解】由函数的导函数的图象可知，

当时，，所以在上单调递增，故B错误；

当时，，所以在上单调递减，故A正确；

所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.

故选AD.

10．【答案】ABD

【详解】令解得，令解得或，

所以在单调递增，单调递减，单调递增，

因为，极大值，且极小值，

所以函数