专题14 立体几何外接球与内切球问题十种考法（解析版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）-A4.docxVIP

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专题14立体几何外接球与内切球问题十种考法

一、方法讲解

1.正（长）方体的外接球

墙角模型

找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出

对棱相等模型：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线

直柱体的外接球

直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点

补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同

作图：构造直角三角形，利用勾股定理

例如：直三棱柱内接一球（棱柱的上下底面为直角三角形）

此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般，

勾股定理：，则

注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球

3.棱锥垂面模型的外接球

如图，平面，求外接球半径．

第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；

第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；

=2\*GB3②

4.面面垂直模型的外接球

若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心

5.二面角模型的外接球

多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心；

注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补.

6.台体模型的外接球

球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．

基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主

7.棱锥的内切球问题

三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为，建立等式：

第三步：解出

8.圆柱圆锥的内切球模型

圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为?，则S?PAB=1

所以R=2

圆柱的内切球：不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高?与圆柱的底面半径r满足?=2r，即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径r

注：求圆柱与圆锥的外接球的方法主要通过轴截面来解决

9.圆台与棱台的切接问题

球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．

基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主

10.外接球与内切球的最值问题

关键确定球心的位置以及半径的最值进而确定几何体的表面积、体积以及棱长的最值

二、重难点例题及变式

类型一、正（长）方体的外接球

例．（1）已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（??）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

三棱锥的特征把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处,三棱锥的外接球就是长方体的外接球

设长方体的长宽高分别是,则,

所以,

设长方体的外接球半径为，则，

所以外接球表面积为.故选：D.

（2）球O是棱长为1的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为.

【答案】

【解析】

如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球，

即球O是棱长为1的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球，

因为正方体棱长为1，则体积为1，

可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积，

即球O的内接正四面体体积为.

故答案为：.

【变式训练1】已知三棱锥V—ABC，满足，，则该三棱锥的外接球的表面积为.

【答案】

【解析】根据三棱锥对棱相等的特点，在长方体中构造三棱锥如下所示：

设该长方体长宽高分别为，

由题可知：，故可得，

又该长方体外接球半径，

也为该三棱锥外接球半径，故该三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：

【变式训练2】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两垂直，则球心到平面的距离为_______________

【答案】

【解析】因为两两垂直，所以正三棱锥的外接球就是所在正方体的外接球．

如图，外接球的球心即为正方体的中心，正方体的体对角线就是外接球的直径．

设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，即，

即，，，

．设点到平面的距离为，

由，得，

所以，

所以球心到平面的距离为．

故答案为:

类型二、柱体的外接球

例．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为．

【答案】

【解析】设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱柱的外接球的球心为半径为，

取的中点，可知，且∥，

则，，

可得，，

所以三棱柱的外接球表面积为.

故答案为:

【变式训练1】已知正三