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第六章非线性方程的数值解法习题解答

填空题：

1.求方程xf

(x)根的牛顿迭代格式是__________________。

Ans:xn1

xn

f(xn)

xn

f(xn)

1

2.求解方程

在(1,2)

内根的以下迭代法中，

(1)

(2)

(3) (4)

收敛的迭代法是（A）.

A．(1)和(2) B.(2) 和(3) C.(3) 和(4) D.(4) 和(1)

3.若f(a)f(b)

0，则f(x)0在(a,b)

内必定有根。(

)

4．用二分法求方程f(x)

x3

x

1

0

在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所

在区间为

,

进行两步后根的所在区间为

.

（答案[,1]

，[,]

）

计算题：

1、已知方程x3

x2

1

0在x

1.5邻近有根，将方程写成以下三种不一样的等价形式：

①x1

1

；②x

31

x2；③x

1

x2

x1

试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。

解：①令

1

2

2

1

(x)

1

x2，则1(x)

x3

，

1(1.5)

1.530.5926

1，故迭代收敛；

2x(1

2

②令

2(x)

31

x2

，则

2(x)

x2)3

，

2

(1.5)

0.4558

1，故迭代收敛；

3

③令

3(x)

1

1

，则

3(x)

2

1

，

3(1.5)

1.4142

1

，故迭代发散。

x

(x

1)3

以上三中以第二种迭代格式较好。

2、设方程f(x)

0

有根，且0

m

f(x)

M。试证明由迭代格式

xk1xk

f(xk)

(k

0,1,2,L

)产生的迭代序列

xkk

0对随意的初值

x0

(,

2

时，均收敛

)，当0

M

于方程的根。

证明：设

(x)x

f(x)，则

(x)

1

f(x)，故1M

(x)1m

，从而可知，

当0

2

时，1

(x)1

，即

(x)

1，从而由压缩映像定理可知结论成立。

M

3、试分别用Newton法和割线法求以下方程的根

x

cosx0

取初值x0

0.5,x1

，比较计算结果。

4

解：Newton法：x1

0x2=0x3=0；

割线法：x2

0x3=0x4

=0x5=0

比较可知Newton法比割线法收敛速度稍快。

已知一元方程x33x1.20。

1）求方程的一个含正根的区间；

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式 (判断收敛性)；

3）给出在有根区间的 Newton迭代法公式。

（1）

f(0)

1.2

0,f(2)

1.8

0

又

f(x)连续故在(0,2)内有一个正根

解：

(2)

2

121,xn1

x

33x1.2,

(x)

(3x

1.2)

3,max

(x)

33xn1.2收敛

x(0,2)

1.23

xn3

(3)

2

3x

1.2

f(x)3x

3,xn1

xn

3xn2

3

5、用二分法求方程

f(x)x3

x

1在区间[1,1.5]内的根时，若要求精准到小数点后二位，

需要二分几次；(2)给出知足要求的近似根。

解：6次；x*

1.32。

6．为求方程x x 1 0在x0 1.5 邻近的一个根，设将方程改写成以下等价

形式，并成立相应的迭代公式。

4）

x

1

1

2,迭代公式xk

1

1

1

2;

x

xk

5）

x

1

x

,迭代公式xk1

31

xk2;

6）

x2

x

1

,迭代公式xk1

1

xk

1.

1

试剖析每种迭代公式的收敛性。

解：Q1.4 1.4 1 0.216 0 1.5 1.5 1 0.125 0 为有根区间。

1)x11/x2

(x)

11/x2(x)

2

2

0.731

x3

1.43

迭代公式xk1

1

1/xk2收敛。

3

2

3

2

1

2－2

21.5

2

2)x1

x

(x)

1

x

(x)

（

x

）3

2x

/(1

1.0)

3

0.631

3

3

迭代公式xk1

31

xk2收敛。

3

3

3)x2

1

1