吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一下学期第一学程（4月）考试数学试题（解析版）.docx

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长春市第十七中学

2024—2025学年度下学期第一学程考试

高一数学试题

一、单项选择题：（本题共8道小题，每小题5分，共40分）

1.设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（）

A.和 B.和

C.和 D.和

【答案】B

【解析】

【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.

【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，

和不共线，故A能构成基底，

和共线，故B不能构成基底，

和不共线，故C能构成基底，

根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，

故选：B

2.已知向量，若，则实数（）

A.1 B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由向量平行的坐标表示即可求解；

【详解】解：向量，，

，

解得，

故选：D

3.已知向量，满足，且，，则与的夹角为（）

A.30° B.60° C.120° D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量数量积的运算律求得，利用向量的夹角公式可求得，可求与的夹角.

【详解】由，可得，即

又，所以，解得，

所以，又，所以，

所以与的夹角为.

故选：C.

4.已知，且，则向量在向量上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.

【详解】因为向量在向量上的投影向量为：，

故选：C.

5.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）

A向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．

【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．

故选：D.

6.如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.

【详解】依题意，.

故选：B

7.已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（）

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量平行的条件得，再利用余弦定理可得边的关系，即可得解.

【详解】由题意，向量，且，

则，故，

整理得到，

故，故或，

即或，故的形状为等腰或直角三角形.

故选：D.

8.设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到范围.

【详解】因为△为锐角三角形，所以，，，

即，，，所以，；

又因为，所以，又因为和正弦定理得，

由，即

，

所以，令，则，

又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，

则的周长的取值范围为.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值.

二、多项选择题：（本题共3道小题，每小题6分，答对部分给部分分，答错0分，满分18分）

9.下列关于平面向量的说法错误的是（）

A.若是共线的单位向量，则

B.若，则

C.若，则不是共线向量

D.若，则一定存在实数，使得

【答案】ACD

【解析】

【分析】由方向可判断A，由相等向量概念可判断B，由共线向量的概念可判断C，由且时，可判断D；

【详解】是共线的单位向量，则或，A错误；

向量相等，即大小相等，方向相同，B正确；

若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误；

若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误．

故选：ACD．

10.已知函数，则下列结论正确的是（）

A.函数的最小正周期是

B.函数在区间上是增函数

C.直线是函数图象的一条对称轴

D.函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.

【详解】对于A选项，函数的最小正周期是，A对；

对于B选项，当时，，

所以，函数在上不单调，B错；

对于C选项，因为，

所以，直线是函数图象的一条对称轴，C对；

对于D选项，因为，

所以，函数图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到，D错.