福建省厦门双十中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题.docxVIP

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福建省厦门双十中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

2．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（????）

A． B． C． D．

3．已知随机变量的概率分布如下表

x

1

2

4

P

则（??）

A．1 B． C．11 D．15

4．若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得为偶数的不同排列方法有（????）

A．1224种 B．1800种 C．984种 D．840种

5．在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

6．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

7．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（????）

A．40 B．120 C．240 D．280

8．函数的两个极值点满足，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知直线及圆，则（????）

A．直线过定点

B．直线截圆所得弦长最小值为2

C．存在，使得直线与圆相切

D．存在，使得圆关于直线对称

10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（????）

A． B． C． D．

11．已知点到点的距离与点到y轴的距离的差为定值，记动点的轨迹为曲线C，则（????）

A．当时，由抛物线和x轴的负半轴构成

B．当时，关于原点中心对称

C．当时，为轴对称图形

D．当时，是由两部分抛物线构成的封闭图形

三、填空题

12．若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是.

13．甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为.

14．已知集合，对于的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数，则所有这样倒数的和为.

四、解答题

15．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

16．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D是棱BC的中点．

(1)求证：平面；

(2)在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面与平面所成角的大小为60°，若存在，求出；若不存在，说明理由．

17．在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.

(1)求点的轨迹方程；

(2)曲线上一点N，点A、B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.

18．已知函数．

(1)求的极值，并画出函数的大致图象；

(2)求出方程（）解的个数；

(3)若恒成立，求实数的取值范围．

19．Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于.

已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.

(1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望；

(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.

（i）求及；

（ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求.

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《福建省厦门双十中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

D

A

C

B

D

D

ABD

ACD

题号

11

答案

AC

1．D

【分析】令，可求得，计算可求得的最小值.

【详解】令