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§8.4空间角与距离、空间向量及其应用

—五年高考一

考点1空间角与距离

1.2（021全国乙,5,5分）在正方体ABCD-ABCQ中,P为8Q的中点，直线用与4?1所成

的角为（）

A弓CJD.J

2346

答案D

2.2（020新高考/,4,5分）日暑是中国古代用来测定时间的仪器,利用与唇面垂直的暑针投射

到暑面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点/的纬度是指与

地球赤道所在平面所成角，点力处的水平面是指过点A且与。力垂直的平面.在点力处放置一

个日禅,若暑面与赤道所在平面平行，点力处的纬度为北纬40。，唇针与点力处的水平面所成

角为（）

A.20。B.40°C.50°D.90°

答案B

3.2（021全国乙,18,12分）如图,四棱锥2/比。的底面是矩形/£入底面ABCD,PBDC=\,M

为纪的中点，且用U股

⑴求BC

2（）求二面角4尸例-8的正弦值.

解析⑴由题意知两丙垂直,所以以。为原点，石?,瓦，丽的方向分别为X轴7轴,2

轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示，设BC=《t6,

420)风,1,0),乂/1,0),40,0,1)所以方二1,-1),奇二(・a1,0),

因为阳4/7,所以而•福=0,

所以］+1=0,即/=2.

又少0,所以片或，即BC=y12.

(2)设平面外例的法向量为ni=(xi,yi,zi),

卜1竺=0,由⑴知同=(业0,・1),斓=(.冬1,0),所以券「句一仇令为二也

{n^AM=0,v/(-yXi+y=0,

x

%=l,Zi=2,即^=(72,1,2),

设平面2M8的法向量为e二(检/，为，收空二01由⑴知而二(四,1,-1),丽二俘。0),所以

(nMB=0,一)

2

z

V2x+y2~2=°，

z

V2令％=1，即此=(0,1,1),

匕必=0.

uli、，ni-n?lxl+2xl3

所以cosA,n=^=^==.

27r7

由题图可知二面角4%/-8的平面角为锐角,所以所求二面角的正弦值为口^噜

方法总结二面角的求解主要有两种方法:一是几何法，根据几何体的结构特征与线面位置关

系作出二面角的平面角，然后转化为解三角形问题求解;二是空间向量法，根据题意建立合适

的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量,代入向量的夹角公式求解.

4.2（019课标〃/7,12分）如图,长方体工8。。-4861。的底面/8C。是正方形，点£在棱441

、BEEC、.

⑴证明：8a平面EBC；

⑵若求二