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浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的

几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与

几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，

因而成为近几年各地中考的一类热门试题；这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现

得尤为突出；如2001年的中考压轴题是以直角三角形为背景，揉合一次函数、相似形、直线

与圆的位置关系等知识构成；2002年的中考压轴题是以矩形为背景，揉合轴对称、二次函数、

几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景，揉合直角三角形的知识构成；

因此，将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点，

也是今后中考命题的一大趋势；

函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：

一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点

是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自

变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图

形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这

类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位

置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；本文特从2003年各地的中考试题中略

选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。

一、函数与几何综合题例析

（一）“几函”问题：

1、线段与线段之间的函数关系：

由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的

特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段

成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何

元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数

关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的

取值范围。

例1如图，AB是半圆的直径，O为圆心E

C

AB=6，延长BA到F，使FA=AB，若P为线段

AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半

圆的切线，切点为C，过B点作BE∠PC交PC

FPAOB

的延长线于E，设AC=x，AC+BE=y，求y与x

的函数关系式及x的取值范围。（2003年山东省烟台市中考题）

评析：这是一道集圆、直角三角形、相似三角形与函数的综合题，由于已知条件中有切

线，因此可以联想切线的性质、切割线定理、弦切角定理、切线长定理；又因为有直径这

已知条件，又可联想构造直径所对的圆周角。因此，连结BC，构造出“双直角三角形”和弦

切角定理的典型图形，然后利用两对相似三角形中的一对建立比例式，再结合勾股定理解决

问题。

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解：连结BC，∠AB是∠O的直径，∠ACB=90°，∠BC=36-x

又∠PC切∠O于C，∠ECB=∠BCA；

由BE∠PC于E可知，∠ACB=∠CEB=90°，∠ΔACB∠ΔCEB；

ABBCBC2x2x2

BE6yx6

，即∠；