计算机数学基础(下)-第5编-数值分析.pptVIP

计算机数学根底(下)

第5编数值分析;本章主要内容：;教学要求：;教学资源;12.3高斯求积公式;当求积公式：

具有2n+1次代数精度时，其n+1个节点

称为高斯点。

这样的求积公式对于一切次数不超过2n+1次的多

都能精确成立，关键问题是哪些节点是高斯点，各节

点对应的系数是多少。

下面，我们就给出求高斯点的公式：

高斯—勒让德公式。;12.3.2高斯—勒让德公式

通过变量替换，我们可以把积分

区间从[a,b]变换成[-1,1]，

当t在[-1,1]间取值时，的值在[a,b]间

把以t为变量的积分值乘以，就得到以x为变量

在区间[a,b]上的积分值。

因此，我们可以在区间[-1,1]内寻找高斯点。

在区间[-1,1]上的求积公式称为高斯—勒让德公式：

;勒让德多项式：的零点就是在区间[-1,1]内的高斯点。

注意：这里的n指的是在区间[-1,1]内节点的个数，

而不是下面求高斯求积公式的代数精度时所说的n。

n＝1，

n＝2，

n＝3，;

选取适当的系数。就可得到高斯求积公式：

1个节点时，

具有1次代数精度。算代数精度时的n＝0。

2个节点时，

具有3次代数精度。算代数精度时的n＝1。

3节点时，

具有5次代数精度。算代数精度时的n＝2。;例2用两个节点的高斯—勒让德求积公式计算积分

解：取，

n＝1，具有3次代数精度。

;例3用高斯—勒让德求积公式计算

使其具有5次代数精度。

解：2n+1＝5，n＝2，用3个节点的高斯—勒让德公式,

;12.4数值微分;两节点的导数为：

三点的插值函数为：

假设节点用表示，并记

;分别取代入，得三节点处的求导公式

该公式比较复杂，不要死背硬记，那样很容易忘

记。要寻找系数中的规律进行记忆。;例1数据为

用三点公式求

解：

;[2002年1月试卷选择题4]

当时的函数值，那么

;[2001年7月试卷计算题13(2)]

设函数值表为

取步长h=0.2，计算f’(2.7)的近似值，计算保存4位小数。

解：步长h=0.2，计算f’(2.7)，只能用x=2.5,2.7,2.9计算

;本课小结：

1．高斯—勒让德公式是建立在区间[-1，1]上的数值积分公式。对于积分区间是[a，b]的数值积分，可通过变量替换，化为[-1，1]上的数值积分。

2．高斯点的求法是求勒让德多项式的零点。勒让德多项式是。要注意的是该公式里的n表示的是高斯点的个数，而不是求高斯求积公式的代数精度时所用到的n。;1．?一个高斯点的求积公式是，

两个高斯点的求积公式是，

三个点的求积公式是，

2．?求高斯求积公式的代数精度时，n＝高斯点数－１，它具有2n＋1次代数精度。

3．?等距节点的两点求导公式是：

;4.等距节点的三点求导公式是：

作业：P.133、P.137、P.143

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