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4.3对数运算（精讲）
考点一对数的定义
【例1】1（2021·江西省吉水中学高一阶段练习）使式子有意义的x的取值范围是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使式子有意义，则，即，解得或，
所以x的取值范围是.故选：D
【一隅三反】
1．（2021·全国·高一课时练习）使有意义的实数a的取值范围是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C.
2．（2022广东）对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是（???????）
A．(－∞，5) B．(3，5)
C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5)
【答案】D
【解析】由题意得，解得3a4或4a5，即a的取值范围是(3，4)∪(4，5)．故选：D.
3．（2022·云南）在等式中，实数a的取值范围是（???????）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【解析】要使有意义，只需：，解得：或
∴实数a的取值范围是或故选：B
考点二指对数的互化
【例2】（2022山西）将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【解析】(1)因为，所以有：.
(2)因为，所以有：.
(3)因为，所以有：.
(4)因为，所以有：.
(5)因为，所以有：.
(6)因为，所以有：.
【一隅三反】
1.（2021·全国高一课时练习）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】
【解析】.故答案为：，，，.
2．（2022·湖南）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)由对数定义得；
(2)由对数定义得；
(3)由对数定义得；
(4)由对数定义得．
考点三对数求值
【例3】（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式中的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)125(2)(3)(4)
【解析】(1)因为，所以；
(2)因为，所以，解得
(3)因为，所以，所以；
(4)因为，所以，所以.
【一隅三反】
1．（2021·全国·高一课前预习）求下列各式中的值：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)由题意，.
(2)由题意，，而且，所以.
(3)由题意，.
(4)由题意，.
2．（2021·江苏·高一课时练习）求下列各式中x的值：
（1）logx3＝；（2）log64x＝－；（3）－lne2＝x；（4）；（5）log5[log3(log2x)]＝0.
【答案】（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8.
【解析】（1）由logx3＝，得＝3，所以x＝9.
（2）由log64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝.
（3）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.
（4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2，
解得x＝1或x＝3，又因为x＝1时，x2－2＝－10，舍去；
x＝3时，x2－2＝70，2x2－4x＋1＝70，符合题意．综上，x＝3.
（5）由log5[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，故x＝23，即x＝8.
考点四对数的运算
【例4】（2022北京）求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)2log32－log3＋log38－；
(6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).
(7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；
(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)；
(10)2log32－log3＋log38－3log55；
【答案】(1)(2)-1(3)1(4)2(5)－1(6)13(7)(8)2(9)(10)－1
【解析】(1)原式.
(2)
(3)原式=.
(4)原式==.
(5)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
(6)原式
.
(7)原式＝
(8)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝·＝·
＝·＝.
(10)2log32－log3＋log38－3log
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