湖南省益阳市2024-2025学年高三上学期期末数学（解析版）.docx

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益阳市2024年高三下学期普通高中期末质量检测

数学试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得集合，对集合B中的元素逐一检验，进而可得交集.

【详解】因为，

令，解得，显然，

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即；

所以.

故选：C.

2.已知公比为的等比数列的前和为，，，则（）

A.5 B.6 C.7 D.8

【答案】C

【解析】

【分析】由等比中项求得，然后求出公比，得到首项，由等比数列前项和公式得到，分别代入的值，得到结果.

【详解】，∴，∴，

∴，

，

当时，，

当时，，

故，

故选：C.

3.已知向量，，若，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值.

【详解】由题设，

而.

故选：B

4.已知函数的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现函数的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先确定的两条渐近线，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线方程，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.

【详解】双曲线的两条渐近线分别为，，

其焦点在直线，夹角（锐角）的角平分线上，

设角平分线方程为且，令分别是直线的倾斜角，为锐角，

则，为双曲线的一条渐近线的倾斜角，且，

由，得，

而，解得，令双曲线的方程为，则，

所以双曲线的离心率.

故选：A

5.的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用二项式的通项分三种情况逐个求解，然后将系数加起来即可.

【详解】由题知，的展开式的通项为，

又的展开式的通项为，，

所以的展开式的通项为，

令，则，

所以含项的系数为，

令，则，

所以含的项的系数为，

令，则，

所以含的项的系数为，

综上，的展开式中所有二次项的系数和为.

故选：A.

6.已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可.

【详解】

如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，

设球与母线切于点，所以，则，

，则，同理，

所以，

过点作，垂足为，则，，

又，即，联立解得，则，

所以该圆台的体积为.

故选：B.

7.如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）

??

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围.

【详解】??

过点作准线的垂线，垂足为，

则的周长为，

由可得，

故，故的周长的取值范围为，

故选：D.

8.已知定义域为函数满足当时，，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为（）

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】B

【解析】

【分析】画出及的图象，结合图象即可求解；

【详解】由任意都有，可知当时，的周期为1，

画出及的图像，

则，对应的直线在中间，包含，

由图象可知：与，恒有4个交点，

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（）

A.若，，则

B.若，，，，，则

C.若，，，则

D.若，，，，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据线面判断的判定定理即可判断A；根据线面垂直的判定定理即可B；根据线面平行的性质即可C；根据面面垂直的性质即可判断D.

【详解】A：若，有可能，故A错误；

B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确；

C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确；

D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确.

故选：BCD

10.已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，若成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（）