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2025届江苏省扬中高级中学高三下学期自测卷（一）线下考试数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量，且，则等于（）

A．4 B．3 C．2 D．1

2．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）

A．3 B． C． D．

3．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

4．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

6．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（）

A． B．4 C． D．16

7．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（）

A． B． C． D．

8．下列说法正确的是（）

A．“若，则”的否命题是“若，则”

B．“若，则”的逆命题为真命题

C．，使成立

D．“若，则”是真命题

9．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（）.

A． B． C． D．

10．已知实数满足，则的最小值为（）

A． B． C． D．

11．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

12．设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数的最小值为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．

14．在中，内角所对的边分别为，

若，的面积为，

则_______，_______．

15．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____.

16．已知向量满足，且，则_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）等差数列的前项和为，已知，.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；

（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.

18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若，，成等差数列，求的值；

（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

19．（12分）已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.

20．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.

表中，.

（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

21．（12分）的内角的对边分别为，若

（1）求角的大小

（2）若，求的周长

22．（10分）设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意都有，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D

【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．

【详解】

因为，且，

，

则．

故选：．

本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．

2．B

【解析】

由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：

直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，

∴几何体的体积，故选B.

点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求