天津市南开中学2025届高三下学期第四次月考（2月）数学试题.docx

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天津市南开中学2025届高三下学期第四次月考（2月）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集，则图中阴影部分表示的集合为（????）

????

A． B． C． D．

2．若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（????）

A． B． C． D．

3．随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：

时间

1

2

3

4

5

交易量（万套）

0.8

1.0

1.2

1.5

若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（????）

A．根据表中数据可知，变量与正相关

B．经验回归方程中

C．可以预测时房屋交易量约为（万套）

D．时，残差为

4．如图，下列能表达这条曲线的函数是（????）

A． B．

C． D．

5．已知函数，若，，则的大小关系为（????）

A． B． C． D．

6．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（???）

A．511 B．61 C．41 D．9

7．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下五个说法正确的个数为（????）

①函数的最小正周期是；

②函数在上单调递减；

③函数的图象关于直线对称；

④将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称；

⑤当时，.

A．0 B．1 C．2 D．3

8．设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（????）

A． B． C． D．2

9．令狐智勇与东方真纯是我校高一新生，他们从南开过往考题中获得灵感，为翔宇楼提出扩建方案，计划在两片楼中空地分别修建一座电梯塔，既提供更多便利，也为校园增色，两座电梯塔的外部主体形状均为“立体八角形”.令狐智勇设计了“北塔”，其外部形状如图1所示，水平截面如图2所示，八角形外沿可看作由正方形及绕其中心旋转45°后形成的正方形所构成的各边相等的十六边形，内部包含位于四角处的四部电梯及位于中心的用以保护原有树木的“月柱”，其形状寓意“日新月异”．“月柱”截面（图2中阴影部分）由相交的圆及圆构造而成(实线表示实际存在部分，虚线为设计轮廓线，在实际中并不存在)，圆与四角处各圆分别相切，四角处圆与八角形相应边分别相切（例如圆与边及分别相切），圆与圆内切，已知四角处各圆全等，其半径均为，圆半径为，圆半径为，且，，“北塔”的高为60，记“月柱”（与“北塔”等高）的侧面积的近似值为（已知，，）；东方真纯设计了“南塔”，其外部形状如图3所示，俯视图如图4所示，其八角形外沿与“北塔”完全相同，内部四角处也包含四部电梯（该处四圆半径与“北塔”中四圆半径不等），中心处为一与外沿八角形相似的小八角形，已知直线直线，且，间距离为，从外部看，中心“小八角形柱”高过“外沿八角形柱”的长度为，该顶层设计未来将建成“南得所爱植物园”，因此需要修建球形外壳，为尽量节省建筑材料，应使顶点，，，，，，，，，，，，，，，均在该球球面上，记该球半径为，则（???）

A．， B．，

C．， D．，

二、填空题

10．已知（是虚数单位），则复数.

11．在的展开式中的系数是.

12．已知抛物线，经过拋物线上一点的切线截圆：的弦长为，则的值为

13．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是．

14．平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，用和表示；若，则的最小值为

15．设，函数.若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是.

三、解答题

16．已知的内角、、的对边分别为、、且．

(1)求角的大小；

(2)若，，求的面积；

(3)若，求的值．

17．如图，在多面体中，，，，平面，，，.

(1)求证：直线平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求点到平面的距离.

18．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，.

①求证：直线过轴上的定点；

②求的面积的最大值.

19．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为，公差为，