高等数学 课件全套 邓瑞娟 第1--15章 函数、极限与连续 ---图论基础 .pptx

第一章函数、极限与连续

第一节函数提出问题：什么是函数？如何判断两个函数相等（相同）？定义域怎么表示？

一、函数的概念设有两个变量x和y，当变量x在非空数集D内任取一个数值，变量y按照某个对应法则f，都有唯一确定的数值与之对应，则称f为定义在集合D上的x的函数．x称为自变量，y称为因变量（记为y=f(x)）,D称为函数的定义域．函数的值域记为W={y|y=f(x),xD}．

例1求下列函数的定义域例2P4例1-2

例3判断以下每对函数是否为相同的函数

二、分段函数在定义域的不同范围内，对应法则用不同的公式表达．例4绝对值函数

例5符号函数

三、反函数ⅰ什么样的函数存在反函数？ⅱ求反函数的步骤是什么？（反解出x、交换x与y）ⅲ与的图像什么关系（对应关系一样，图像一样）（1-1对应）

四、函数的特性1.奇偶性NOTE：1.f(-x)=f(x)——偶函数；f(-x)=-f(x)——奇函数；2.奇偶性针对整个定义域上而言的，首先要验证定义域是否关于原点对称；3.不是奇函数,也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数；4.几何意义：偶函数图形关于y轴对称；奇函数图形关于原点中心对称；5.，当n为奇数时为奇函数，当n为偶数时为偶函数，这正是奇函数、偶函数名称的由来.

例6判断下列函数的奇偶性（奇函数）（非奇非偶函数）（偶函数）

2.单调性NOTE：ⅰ单调递增、单调递减函数统称为单调函数；函数的单调递增、单调递减区间统称为单调区间．ⅱ在说明函数的单调性时，必须指明具体的单调区间．因为函数在整个定义域内可能不具有单调性，但在定义域的某些区间具有单调性．如果函数在整个自然定义域上都具有某种单调性，则称其为单调函数．ⅲ几何意义：单增函数在图形上看是一条向右上方上升的曲线；单减函数的图形上看是一条向右下方下降的曲线．

3.有界性NOTE：ⅰ有界即存在正数M，使得；此处M不唯一，因此只讲其存在性；ⅱ有界函数——在“自然定义域”上有界；ⅲ几何意义：有界函数的图形被夹在两条平行线y=M和y=-M之间；无界函数的图形，无论M有多大，总要向上穿过y=M或向下穿过y=-M．

4.周期性（了解）

定义1-8设函数y=f(u),u=φ(x),如果u=φ(x)的值域与y=f(u)的定义域的交集为非空集合，则通过变量u构成变量y与变量x的函数y=f[φ(x)]，这个新函数称为由函数f和φ复合而成的复合函数。其中x是自变量，y是因变量，u为中间变量。六、初等函数1.函数的复合

例7将下列各题中的y表示成x的函数。

2.函数的分解分解原则：由外至内，层层分解，分解到简单函数为止；简单函数是指基本初等函数以及基本初等函数经加、减、乘、除四则运算得到的函数．例8下列哪些为简单函数？

例9将下列函数分解成几个简单函数。

3.初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合运算并用一个式子表示的函数称为初等函数。NOTE：(1)常见的可用一个式子表达的基本都是基本初等函数；(2)分段函数基本都不是初等函数。

谢谢各位

第一章函数、极限与连续第二节函数的极限

一、数列的极限(整变量函数)1.数列的定义按n由小到大的顺序排列的一串数，可以将数列看成是以正整数n为自变量的函数，即。2.数列的性质有界性：单调性：

3.数列的极限对于数列，当n无限增大时，若通项能无限地趋向于某个确定的常数A，则称A为数列当n无限增大时的极限，记作或，此时称数列是收敛的．如果数列没有极限，即不存在，就称数列是发散的．

1.当时，函数的极限引例1：当