人教版初中数学第27章相似.docVIP

九年级第二十七章相似

一、知识点集结

考点

课?标?要?求

知识与技能目标

了解

理解

掌握

灵活应用

图形的相似

比例的根本性质，线段的比。成比例线段

∨

认识图形的相似，探索相似图形的性质

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相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方

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两个三角形相似的概念，图形的位似

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探索两个三角形相似的条件

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利用位似将一个图形放大或缩小

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考点的引发、思维的拓展

考点一、比例的根本性质，线段的比。

考点内容分解：

1、比例式与比例系数。1、……=k

2、比例的根本性质：

两内项之积等于两外项之积；2、①

黄金分割与比例中项。②

3、等比性质。3、……=k

4、合分比性质。4、

例01．，求的值。

变式：线段，满足，求的值

例02．，求的值

例03．两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，第三个数是________。

例04．设，求的值

变式1．如果，那么的值为。

变式2．假设，那么的值是__________

变式3．：如图，在中，，，，且

〔1〕求的长；〔2〕求证：

考点二、认识图形的相似，探索相似图形的性质

考点内容分解：

⑴对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形。

⑵对应边的比值是相似三角形的相似比。

⑶根本性质定理：对应角相等；对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。

例01．：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，那么面积为。

变式1．：如图，，，，

〔1〕当与，之间满足怎样的关系时，∽；

〔2〕当与，之间满足怎样的关系时，∽；

〔3〕当与，之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似。

考点三、探索两个三角形相似的条件

考点内容分解：

①如果有两个角对应相等，那么这两个三角形相似；

②如果三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；

③如果有两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。

例01、如下图，平行四边形ABCD中，E为AD延长线上一点，，BE交DC于F，指出图中各对相似三角形及相似比．

例02．：如图，在四边形中，，.求证：∽

例03．如图，在中，，，；在中，，，，试判断这两个三角形是否相似.

例04．：如图，在中，，、分别是、上的两点，并且

求证：

变式1．如图，为内一点，为外一点，且，，

求证：∽

变式2．如图1-1，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上。

变式3、：如图，在正方形ABCD中，F是BC上的点，且BF＝3FC，Q是CD的中点．

求证：△ADQ∽△QCF．

考点四、探索两个三角形相似的类型

考点内容分解：

1、“宝塔”型〔“A字”〕与“8字”型：①与“平行线”互相依存，对应点在同一直线上；②平行线所分线段对应成比例。

2、“交错”型与“双交错”型：①对应点相互错开，对应线段相互错开；

②一般是通过“两个角对应相等”或“两边对应成比例且夹角相等”来证明。

3、“母子”型〔“双垂直”〕：①“母子”相似；②“双垂直”定理〔“射影”定理〕。

例1、如图，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于F，那么图中相似三角形共有对。

例2．如图，梯形ABCD中，，且，，那么_______，________.

例3．〔河北省，2001〕在中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：

〔1〕当时，有〔如图〕

〔2〕当时，有〔如图〕

〔3〕当时，有〔如图〕

在下列图中，当时，参照上述研究结论，请你猜测用表示的一般结论，并给出证明〔其中是正整数〕.

例4．如图，，是是高，

求证：

例5．如图，：是的斜边上的高，为上任意一点，，垂足为求证：