中考数学几何模型决胜88招模型42 “海盗埋宝”模型.docx

模型42“海盗埋宝”模型

跟踪练习

1.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,点D在边AB上,DE⊥AB交BC于E,F是AE的中点.

(1)写出线段FD与线段FC的关系并证明.

(2)如图2,将△BDE绕点B逆时针旋转α(0

(3)将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4,BE=22直接写出线段BF长度的范围.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=

(1)过点D作DE⊥AB于点E,连接CF,EF,CE,如图1,若CF=kEF,则k=.

(2)将△ADE绕点A顺时针旋转,使得D,E,B三点共线,点F仍为BD的中点，如图2所示，求证：BE-DE=2CF.

(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD的中点，求线段CF长度的最大值.

3.如图1,大小不相等的正方形ABCD与正方形CEFG有一个共同的顶点C，M是AF的中点.

(1)当正方形CEFG的边CE在正方形ABCD的边CD上时，如图2,连接DM,延长EM交AD于点N.求证:DM=EM且DM⊥EM;

(2)图3、图4、图5中的∠DCE分别为45°,90°,180°.请你选择其中的一个位置状态(图3或图4或图5),连接DM,EM.求证:DM=EM,且DM⊥EM.

4.如图,四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点.

(1)问题解决：如图1，连接BO,分别取CB,BO的中点P,Q,连接PQ,则PQ与BO的数量关系是，位置关系是.

(2)问题探究:如图2,△AOE是将图1中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE,点P,Q分别为CE,BO的中点,连接PQ,PB.判断△PQB的形状，并证明你的结论.

1.解析:(1)FD=FC,CF⊥DF.

证明如下:∵DE⊥AB,∴∠ADE=90°,

∵F是AE的中点,∴AF=FE,

又∵∠ACB=90°,∴DF=AF=EF=CF,

∴∠FAD=∠FDA,∠FAC=∠FCA,

∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD,∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC.

∵CA=CB,∴∠BAC=45°,

∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°,

∴DF⊥FC.

(2)DF=FC,DF⊥FC.证明如下:

方法一：如图1，延长CF到点M，使得FM=CF,连接EM,CD,CE,DM,AM,延长ME交BC于点H.

∵F为AE的中点,∴AF=EF,

又∵FM=CF,

∴四边形MECA是平行四边形，

∴ME=AC,MH⊥BC.

又∵AC=BC,∴ME=BC.

∵∠DBC=45°+α,∠BEH=90°-α,

∴∠DEM=180°

∴∠DBC=∠DEM.

在△BDC和△EDM中,

BD=ED,∠DBC=∠DEM,BC=EM,

∴△BDC≌△EDM(SAS).

∴DM=DC,∠BDC=∠EDM,

∴∠MDC=∠MDE+∠EDC=∠BDC+∠EDC=∠BDE=90°,

∴△CDM是等腰直角三角形，

∵CF=MF,

∴FD=FC,FD⊥FC.

方法二：如图2，延长AC到点M，使得CM=CA,延长ED到点N,使得DN=DE,连接BN,BM,EM,AN,延长ME交AN于点H,交AB于点O.

∵BC⊥AM,AC=CM,

∴BA=BM,同理得BE=BN.

易知∠ABM=∠EBN=90°,

∴∠NBA=∠EBM,

∴△ABN≌△MBE,

∴AN=EM,∠BAN=∠BME.

∵AF=FE,AC=CM,

∴CF=

同理得，FD=

∴FD=FC.

∵∠BME+∠BOM=90°,∠BOM=∠AOH,∴∠BAN+∠AOH=90°,

∴∠AHO=90°,

∴AN⊥MH,∴FD⊥FC.

32≤BF≤32

如图4，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，易得最小值为2

综上所述，2

2.解析:(1)1提示:∵F为BD的中点,DE⊥AB,∠ACB=90°,

∴CF=

∴CF=EF,

∴k=1.

(2)证明：如图1，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.

∵

∴

∵D,E,B三点共线,

∴AE⊥DB.

∵∠BQC=∠AQD,∠ACB=∠AEQ=90°,

∴∠QBC=∠EAQ.

∵CE⊥CG,∠ACB=90°

∴∠ECA+∠ACG=90