广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题.docx

广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（???）

A． B．

C． D．

2．设为虚数单位，复数满足，则（???）

A． B． C．2 D．

3．已知，，且，则（???）

A．4 B． C． D．

4．已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（???）

A．

B．当时，

C．

D．随机变量落在与落在的概率相等

5．已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（???）

A．11 B．13 C．19 D．17

6．已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

7．设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（???）

A． B． C． D．1

8．已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（???）

A．（除去点）， B．（除去点），

C．， D．，

二、多选题

9．某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（???）

A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2

C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8

10．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（???）

A．

B．平面与平面所成角的余弦值为

C．若，则点轨迹的长度为

D．若点在直线上，则的最小值为

11．我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．已知，且，，若把位进制中的最大数记为，则下列结论正确的是（???）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．展开式中的常数项为．

13．已知函数，若，，且，则的最小值是．

14．一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有种．（用数字作答）

四、解答题

15．记的内角，，的对边分别为，，，已知．

(1)求；

(2)若，外接圆的半径为2，求的面积．

16．已知数列的首项为，且满足．

(1)求证：是等比数列；

(2)求数列的前项和．

17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．

18．如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．设平面平面．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若平面与棱交于点，求的值．

19．在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率．（其中，分别表示在点处的一阶，二阶导数）

(1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；

(2)求抛物线在处的曲率；

(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，若且，处的“柯西曲率”相同，求的最小值．

《广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

B

D

C

D

A

B

ABD

ABC

题号

11

答案

ACD

1．C

【分析】求解不等式得集合，再根据补集定义求解.

【详解】∵，

，

∴.

故选：C．

2．B

【分析】先用除法法则得到，利用模长公式得到答案

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B．

3．B

【分析】由向量共线的坐标运算列式求解值.

【详解】因为，，且，

所以，解得.

故选：B.

4．D

【分析】由正态分布的对称性可得A错误，D正确；由方差的性质可得B错误；由正态分布期望的表示可得C错误.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，由正态分布密度曲线可知，故C错误；

对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确．

故选：D．

5．C

【分析】利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项