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不變子空間

一不變子空間的概念及性質定義7A∈L(V),W是數域P上線性空間V的子空間，稱W是A的不變子空間，簡稱為A－子空間，如果：對任意的ξ∈W，Aξ∈W.即AWW（對線性變換A封閉）.性質1對任意的A∈L(V),V,{0}是A－子空間（例1）.VWAW

性質2對任意的A∈L(V),A的值域AV,核A－1(0)是A－子空間(例2).證明：對η∈AV→η∈V→Aη∈AV,η∈A－1(0),Aη=0∈A－1(0)，故命題成立.□性質3AB=BA，則BV,B－1(0)是A－子空間(例3).證明：對任意的Bξ∈BV，A(Bξ)=B(Aξ)∈BV→BV是A－子空間.對任意的ξ∈B－1(0),Bξ=0,要證明ξ∈B－1(0)，關鍵證B(Aξ)=0.而B(Aξ)=A(Bξ)=A(0)=0,故B－1(0)是A－子空間.□同理：AV，A－1(0)是B－子空間.由於Af(A)=f(A)A，故f(A)V,f(A)－1(0)是A－子空間.

性質4K∈L(V),則V的任一子空間是K－子空間.V的任一子空間是零變換，單位變換的不變子空間.證明：設W是V的任一子空間，對任意的α∈W,由子空間的定義可知，Kα=kα∈W,故命題成立.□性質5A∈L(V),W是A－子空間，f(x)∈P[x],則W是f(A)－子空間.

性質6W1,W2是A－子空間，則W1+W2,W1∩W2仍是A－子空間.

證明：對任意的α1+α2∈W1+W2，A(α1+α2)=Aα1+Aα2∈W1+W2.對任意的α∈W1∩W2，Aα∈W1且Aα∈W2，故Aα∈W1∩W2，所以命題成立.□

性質7A∈L(V),則A的屬於特徵值λ的特徵子空間Vλ是A－子空間.

證明：對任意的ξ∈Vλ,Aξ=λξ∈Vλ→Vλ是A－子

空間.□

性質8A∈L(V),則A有一維A－子空間的充要條件是：存在λ∈P,對任意的ξ(≠0)∈W,Aξ=λξ,且W=L(ξ).

該性質即說：W是A的一維不變子空間的充要條件是：W是A的某特徵值λ的一維特徵子空間Vλ.證明：必要性設W是A－子空間，dimW=1→取W的基ξ，即W=L(ξ)→Aξ∈W,即存在λ∈P,使得Aξ=λξ成立.充分性設Aξ=λξ(ξ≠0)→L(ξ)=W顯然是V的一維子空間，對任意的α∈W，α=xξ→應有Aα=A(xξ)=xAξ=x(λξ)=λ(xξ)=λα∈W,即W是一維A－子空間.□

二線性變換在子空間上的限制（A｜W）定義A∈L(V),W是A－子空間，規定A｜W：W→W，A｜W(α)=Aα(α∈W),稱A｜W為A在W上的限制.AA｜WVWVW

實例：

1.A｜A－1(0)是A－1(0)上的零變換.

（對任意的α∈A－1(0),A｜A－1(0)(α)=Aα=0）

2.A∈L(V),W是V的子空間，則A｜W∈L(W).

3.A｜Vλ是Vλ上的數乘變換.

（對任意的α∈Vλ，Aα=λα）

性質10A∈L(V),W=L(α1,···,αr)是V的A－子空間的充要條件是：