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二維隨機變數

從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變數及其分佈多維隨機變數及其分佈由於從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變數.它是第二章內容的推廣.

到現在為止，我們只討論了一維r.v及其分佈.但有些隨機現象用一個隨機變數來描述還不夠，而需要用幾個隨機變數來描述.在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個座標)來確定的.飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個座標)來確定的等等.

一般地,設是一個隨機試驗,它的樣本空間是設是定義在上的隨機變數,由它們構成的一個維向量叫做維隨機向量或維隨機變量.以下重點討論二維隨機變數.請注意與一維情形的對照.

X的分佈函數一維隨機變數如果對於任意實數二元函數稱為二維隨機變數的分佈函數,或者稱為隨機變數和的聯合分佈函數.定義1設是二維隨機變數,一、二維隨機變數的分佈函數

將二維隨機變數看成是平面上隨機點的座標,那麼,分佈函數在點處的函數值就是隨機點落在下面左圖所示的,以點為頂點而位於該點左下方的無窮矩形域內的概率.分佈函數的函數值的幾何解釋

隨機點落在矩形域內的概率為

或隨機變數X和Y的聯合分佈律.k=1,2,…離散型一維隨機變數XX的分佈律k=1,2,…定義2的值是有限對或可列無限多對,是離散型隨機變數.則稱設二維離散型隨機變數可能取的值是記如果二維隨機變數全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機變數的分佈律,二、二維離散型隨機變數

二維離散型隨機變數的分佈律具有性質

也可用表格來表示隨機變數X和Y的聯合分佈律.

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現的次數，而Y為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值,求(X,Y)的分佈律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8

連續型一維隨機變數XX的概率密度函數定義3對於二維隨機變數的分佈函數則稱是連續型的二維隨機變數,函數稱為二維（X,Y)的概率密度,隨機變數三、二維連續型隨機變數存在非負的函數如果任意有使對於稱為隨機變數X和Y的聯合概率密度.或

二維連續型隨機變數的概率密度具有性質

（X,Y）的概率密度的性質:在f(x,y)的連續點,

例2設(X,Y)的概率密度是(1)求分佈函數(2)求概率.

積分區域區域解(1)

當時,故當時,

(2)

四、課堂練習設隨機變數(X,Y)的概率密度是(1)確定常數(2)求概率.

解(1)故

(2).

五、小結在這一節中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變數的分佈函數,離散型隨機變數的分佈律以及連續型隨機變數的概率密度函數.

六、佈置作業《概率統計》標準化作業(三)