2025高考数学临门一脚 培优专题02立体几何（5大题型）（含答案解析）.docxVIP

PAGE2/NUMPAGES5

培优专题02立体几何

题型1线面角（含最值范围）问题

设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；

②.

③最值或范围问题常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围

1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．

(1)证明：；

(2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值；

(3)若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置．

【答案】(1)证明见解析

(2)，2

(3)位于的延长线上，且到的距离为1

【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明

【分析】（1）由已知，以为原点，建立空间直角坐标系，可得，，得，证得；

（2）取平面的法向量，由则，即可得到当时，直线与平面所成的角最大，此时的正切值为2；

（3）由平面与平面所成的锐二面角为，利用坐标运算求出，即可确定点的位置．

【详解】（1）因为三棱柱的侧棱与底面垂直，

底面，则，

由，

如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

又，是的中点，是的中点，

点在直线上，且满足，

则，，，

，，

，．

（2）取平面的法向量，，

则，

当时，，此时，．

（3）设平面的一个法向量，，，

则，，

令，则，

，

解得，

位于的延长线上，且到的距离为1．

2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点．

(1)求点到平面的距离；

(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

(3)设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【知识点】求点面距离、面面角的向量求法、线面角的向量求法

【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直，即可得知点到平面的距离为，结合等边三角形性质可得解；

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可两平面夹角；

（3）利用坐标法可得平面的法向量，进而可得线面夹角正弦值的取值范围，即可得线面夹角的范围.

【详解】（1）平面，且，平面，

，，

，，且，平面，

平面，

平面，

平面平面，

是中点，且，

，，

平面平面，平面，

平面，

点到平面的距离；

（2）

由，可知，，两两垂直，

所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量，

则，令，得，

又易知平面的一个法向量，

，

即平面与平面所成的锐二面角余弦值为；

（3）设，，

又是中点，则，

即，，，，

所以，

设平面法向量，

则，令，得，

则，，

所以直线与平面夹角满足，

当时，，

当，，且，

所以，

综上所述，

因为，所以.

3．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足．

(1)指出直线与平面的位置关系（不需说明理由）

(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围

(3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值

【答案】(1)与平面共面或平面

(2)

(3)；-2

【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、与二次函数相关的复合函数问题、判断线面平行

【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可说明直线与平面的位置关系；

（2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由题意得平面的法向量为，则，利用二次函数的性质求出的范围，继而即可求出的取值范围；

（3）根据空间向量的坐标运算表示出二面夹角的余弦值，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可.

【详解】（1）当点与重合时，与平面共面，

当点不与重合时，

因为分别是，的中点，

所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）

如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设，由，得，

所以，则，

所以，

设平面的法向量为，

直线与平面所成的角为，

则，

，

所以，

所以的取值范围为.

（3）

由（2）知，

，

，

设平面的法向量为，

则，取，

为平面的法向量，

平面与平面所成的锐二面角的大小为，

则，

令，则，

则，

函数，当时，，

所以，

即当时，.

4．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，可以通过以直线AO为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点D在线段AB上，求CD与平面AOB所成角的最大值.

【答案】

【知识点】线面角的向量求法、反三角函数、面面垂直证线面垂直、根据二次函数的最值或值域求参数

【分析】先应用面面垂直得出线面垂直，再应用空间向量法计算线面角，最后应用二次函数最小值得出线面角的最大值.

【详解】由题意可得，，平面平面AOC，

平面平面