2025高考数学临门一脚 培优专题06导数（7大题型）（含答案解析）.docxVIP

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培优专题06导数

题型1恒(能）成立问题

1、分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：，使得能成立；

，使得能成立．

③求最值.

2、分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

3、等价转化法

当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

4、最值定位法解决双参不等式问题

（1）,,使得成立

（2）,,使得成立

（3）,,使得成立

（4）,,使得成立

5、值域法解决双参等式问题

,,使得成立

①，求出的值域，记为

②求出的值域，记为

③则,求出参数取值范围.

1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，.

(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

(2)讨论的单调性；

(3)当时，，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3).

【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题

【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可；

（2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间；

（3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

又在处的切线与直线垂直，所以，

即，所以.

（2），.

①当时，，所以在上单调递增.

②当时，令，得，又，所以.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（3）由，得在上恒成立.

令，，则，令，得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，即，

则在上恒成立.

令，，

则

.

因为，所以，则，

令，得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，

所以，即的取值范围是.

2．（24-25高三上·上海·期中）设.

(1)当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)设函数的定义域为，若对任意的成立，求的取值范围.

【答案】(1).

(2)上是严格增函数，上是严格减函数.

(3).

【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解.

（2）求出导数，判断导数值正负求出单调区间.

（3）先探求不等式成立的必要条件，再证明充分性即可，证明时构造函数利用导数求函数的最小值即可证明.

【详解】（1）当时，，求导，则，

所以切线方程为，即.

（2）当时，函数的定义域为，

求导得，

当时，；当时，，

所以函数在上严格增函数，在上严格减函数.

（3）函数定义域为，

不等式恒成立，即恒成立，

当时，必成立，则，

令，求导得

，

而，则当时，当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，，则，

所以的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：在定义域上恒有成立求的范围，首先根据恒成立探求其成立的必要条件，由可知必有，证明充分性时，令，利用导数求出恒成立，即可求解，属于难题.

3．（23-24高二下·上海·期末）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)函数在区间上有零点，求的值；

(3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；

（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；

（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．

【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为，

又，切点为，所以切线方程为；

（2），，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以的极小值为，，

在区间上存在一个零点，此时；

又，，

在区间上存在一个零点，此时，

综上，的值为或；

（3）函数，，

所以，

由得，依题意方程有两不相等的正实根、，

则，所以，

，，，

又，，，解得，

，

构造函数，，

所以，

在上单调递减，

所以当