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福师大高数c期末试卷及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.函数f(x)=x^2+3x-4的零点个数为（）。

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

2.已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的值（）。

A.3x^2-3

B.x^2-3

C.3x^2+3

D.x^3-3

答案：A

3.函数f(x)=e^x的反函数为（）。

A.ln(x)

B.e^x

C.x^e

D.ln(x)^e

答案：A

4.已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(-1)的值（）。

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

5.函数f(x)=x^3-3x+2的极值点为（）。

A.x=1

B.x=-1

C.x=0

D.x=2

答案：A

二、填空题（每题4分，共20分）

6.函数f(x)=x^2-4x+4的最小值为_________。

答案：0

7.函数f(x)=x^3-3x+2的单调递增区间为_________。

答案：(-∞,-1)∪(1,+∞)

8.函数f(x)=e^x的导数为_________。

答案：e^x

9.函数f(x)=x^2-4x+4的对称轴为x=_________。

答案：2

10.函数f(x)=x^3-3x+2的极小值点为x=_________。

答案：-1

三、计算题（每题10分，共30分）

11.求函数f(x)=x^2-4x+4的值域。

解：f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2≥0，所以函数的值域为[0,+∞)。

12.求函数f(x)=x^3-3x+2的单调区间。

解：f(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，

令f(x)0，得x-1或x1，所以函数的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)；

令f(x)0，得-1x1，所以函数的单调递减区间为(-1,1)。

13.求函数f(x)=e^x的反函数。

解：令y=e^x，则x=ln(y)，所以函数f(x)的反函数为f^(-1)(x)=ln(x)。

四、综合题（每题15分，共15分）

14.已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的极值点和极值。

解：f(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，

令f(x)=0，得x=-1或x=1，

当x-1或x1时，f(x)0，函数单调递增；

当-1x1时，f(x)0，函数单调递减；

所以x=-1为极大值点，极大值为f(-1)=-1+3+2=4；

x=1为极小值点，极小值为f(1)=1-3+2=0。

五、证明题（每题15分，共15分）

15.证明：函数f(x)=x^3-3x+2在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。

证明：f(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，

令f(x)0，得x-1或x1，所以函数在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增；

令f(x)0，得-1x1，所以函数在(-1,1)上单调递减。

综上所述，函数f(x)=x^3-3x+2在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。