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导数及其应用

1．已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．

32+tx成立，求t的值；

（1）当a＝﹣1时，若存在唯一的实数x使得f（x）＝x﹣2ex

11

（2）若函数f（x）有2个零点x，x（x≠x），求a的取值范围，并证明：+＜1．

1212

12

322

解：（1）由x+lnx＝x﹣2ex+tx，得=−2+−1，

22

即−(−)+(1+−)=0．

1−

22

令g（x）=−(−)+(1+−)，g′（x）=−2(−)．

2

当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

∴若存在唯一的实数x使得f（x）＝x﹣2ex32+tx成立，则g（e）＝0，

1

即t=1+2+；

−

（2）证明：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝1−=（x＞0）．

当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不存在2个零

点；

当a＞0时，由f′（x）＝0，解得x＝a，

当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，a）上单调递减，

当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，

从而f（x）在x＝a处求得最小值且最小值为f（a）＝a﹣alna．

要使函数f（x）有两个零点，则必有a＞0，且f（a）＝a﹣lna＜0，解得a＞e．

下面证明a＞e是f（x）有两个零点的充分条件．

∵f（1）＝1＞0，f（a）＝a﹣alna＜a﹣alne＝0，

∴由函数零点存在定理可得，f（x）在（1，a）内有一个零点．

1

22a2222a

取0=，则f（n0）＝e﹣2a＞2(2)−2=0，且e＞2a+1＞a．

∴函数f（x）在（a，n0）内有一个零点，

则当a＞e时，f（x）有两个零点．

故a的取值范围为（e，+∞）；

不妨设x＜x，则f（x）在（x，+∞）上单调递增，

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由f（