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导数及其应用

1．已知函数f（x）＝ax+sinx﹣1（a∈R）．2

，))处的切线与两坐标轴围成的三角形的

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点((

22

面积；

（2）若对于任意的实数x恒有f（x）≥sinx﹣cosx，求a的取值范围．

解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+sinx﹣1，则f（x）＝2x+cosx．

2

因为()=，′()=，

242

22

，))处的切线方程为−=(−)，即−−=0，

所以y＝f（x）在点((

22424

2

，，

令=0=−，令=0=，

44

123

则该切线与两坐标轴围成的三角形面积为××=．

24432

（2）设g（x）＝f（x）﹣sinx+cosx＝ax2+cosx﹣1，则g（x）＝2ax﹣sinx，g（x）是偶

函数．

设h（x）＝g（x）＝2ax﹣sinx，则h（x）＝2a﹣cosx．

①当≥1时，h′（x）＝2a﹣cosx≥0，所以h（x）是增函数，即g（x）是增函数．

2

又g（0）＝0，所以g（x）[0，+∞）上是增函数，

1

因为g（0）＝0，g（x）是偶函数，故g（x）≥0恒成立，即≥符合题意．

2

②当≤−1时，h（x）＝2a﹣cosx≤0，所以h（x）是减函数，即g（x）是减函数．

2

因为g（0）＝0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，

1

因为g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＜0，则≤−不符合题意．

2

③当−1＜＜1∈（0，π），使得h（x）＝0，

时，存在唯一x00

22

因为h（x）＝2a﹣cosx[0，π]上是增函数，

所以当x∈（0，x）时，h（x）＜0，即g（x）在（0，x）上为减函数．

00

因为g（0）＝0，所以当x∈（0，x）时，g（x）＜0，即g（x）在（0，x）上为减函数，

00

11

）时，g（x）＜0，则−＜＜

因为g（0）＝0，所以当x∈