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向量积分配律的证明

向量积的分配律是向量代数中的一个重要性质，它表明一个向量与两个向量之和的积等于该向量分别与这两个向量作积之和。具体地，对于任意三个向量a、b和c，有：

a×(b+c)=a×b+a×c

以下是对该性质的证明：

证明步骤：

设定向量：

设向量a=?a1?,a2?,a3??，b=?b1?,b2?,b3??，c=?c1?,c2?,c3??。

计算向量和：

向量b+c=?b1?+c1?,b2?+c2?,b3?+c3??。

计算向量积：

a×b=?a2?b3??a3?b2?,a3?b1??a1?b3?,a1?b2??a2?b1??

a×c=?a2?c3??a3?c2?,a3?c1??a1?c3?,a1?c2??a2?c1??

计算和的向量积：

a×(b+c)=?a2?(b3?+c3?)?a3?(b2?+c2?),a3?(b1?+c1?)?a1?(b3?+c3?),a1?(b2?+c2?)?a2?(b1?+c1?)?

展开并简化：

第一个分量：a2?b3?+a2?c3??a3?b2??a3?c2?=(a2?b3??a3?b2?)+(a2?c3??a3?c2?)

第二个分量：a3?b1?+a3?c1??a1?b3??a1?c3?=(a3?b1??a1?b3?)+(a3?c1??a1?c3?)

第三个分量：a1?b2?+a1?c2??a2?b1??a2?c1?=(a1?b2??a2?b1?)+(a1?c2??a2?c1?)

对比结果：

可以看出，a×(b+c)的每个分量都等于a×b和a×c对应分量之和。

我们证明了向量积的分配律a×(b+c)=a×b+a×c成立。