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多次基本不等式证明
基本不等式，如算术平均值-几何平均值不等式（AM-GM不等式）、柯西不等式、切比雪夫不等式等，在数学和实际应用中都有着广泛的应用。这里，我们主要讨论并证明算术平均值-几何平均值不等式（AM-GM不等式）的多次应用形式。
算术平均值-几何平均值不等式（AM-GM不等式）
对于所有非负实数?a1?,a2?,…,an?，有：
na1?+a2?+?+an??≥na1?a2??an??
等号成立当且仅当?a1?=a2?=?=an?。
多次应用AM-GM不等式
示例1：证明?2a+b?≥ab?（当?a,b0）
这是AM-GM不等式在?n=2?时的特殊情况。
证明：
2a+b?≥2ab?=ab?
等号成立当且仅当?a=b。
示例2：证明?3a+b+c?≥3abc?（当?a,b,c0）
这是AM-GM不等式在?n=3?时的特殊情况。
证明：
3a+b+c?≥3abc?
等号成立当且仅当?a=b=c。
示例3：证明?2a2+b2?≥ab（当?a,b∈R）
虽然这个不等式可以通过平方差公式直接证明，但也可以用AM-GM不等式来证明。
证明：
由于?a2?和?b2?都是非负的，根据AM-GM不等式（n=2），有：
2a2+b2?≥a2?b2?=ab
等号成立当且仅当?a2=b2，即?a=±b。
示例4：证明?ab?+cd?≤2a+b+c+d?（当?a,b,c,d0）
这个不等式可以通过两次应用AM-GM不等式来证明。
证明：
首先，根据AM-GM不等式（n=2），有：
ab?≤2a+b?
cd?≤2c+d?
将上述两个不等式相加，得到：
ab?+cd?≤2a+b?+2c+d?=2a+b+c+d?
等号成立当且仅当?a=b?和?c=d。
总结
AM-GM不等式是一个强大且广泛应用的工具，可以用于证明各种不等式。通过多次应用AM-GM不等式，我们可以解决更复杂的问题。在证明过程中，要注意等号成立的条件，这有助于我们更深入地理解不等式的本质。
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