北京市西城35中2024年高三第五次模拟考试数学试卷含解析.docVIP

北京市西城35中2024年高三第五次模拟考试数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）

A． B．

C． D．

2．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

3．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（）

A． B． C．1 D．

4．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（）

A． B． C．5 D．6

5．已知复数满足，则（）

A． B． C． D．

6．已知函数满足，且，则不等式的解集为（）

A． B． C． D．

7．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

8．集合中含有的元素个数为（）

A．4 B．6 C．8 D．12

9．复数满足，则复数等于（）

A． B． C．2 D．-2

10．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（）

A． B． C．1 D．

11．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为

A． B．

C． D．

12．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.

14．函数的极大值为______.

15．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______.

16．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知都是大于零的实数．

（1）证明；

（2）若，证明．

18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

19．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．

20．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

21．（12分）已知等差数列中，，数列的前项和.

（1）求；

（2）若，求的前项和.

22．（10分）已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．

【详解】

抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，

又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．

故选：A．

【点睛】

本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．

2、B

【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解

【详解】

作出不等式对应的平面区域，如图所示：

其中，直线过定点，

当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；