人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲与练第24讲 圆锥曲线弦长面积问题（原卷版）.doc

第24讲圆锥曲线弦长面积问题

考点分析

考点一：弦长公式

设，根据两点距离公式．

注意：

①设直线为上，代入化简，得;

②设直线方程为，代入化简，得

考点二：三角形的面积处理方法

①底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）

②水平宽·铅锤高或

③在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．

题型目录

题型一：求弦长

题型二：弦长的范围问题

题型三：三角形四边形面积问题

题型四：三角形四边形面积范围问题

典型例题

题型一：求弦长

【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（???????）

A． B． C． D．

【例2】（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（???????）

A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当求此时直线的方程；

【例4】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．

(1)求椭圆的方程；

(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．

【题型专练】

1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．

2．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.

3．（2022·河北保定·高一阶段练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．

题型二：弦长的范围问题

【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求的方程；

(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．

【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.

【例3】（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是_________

【题型专练】

1．（2022·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．

2．（2022安徽高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点，记线段的中点为．

(1)若直线的斜率为3，求直线的斜率;

(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．

题型三：三角形四边形面积问题

【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．

①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的面积．

【例2】（2022·广东·开平市忠源纪念中学模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．

【例3】（2022·湖南师大附中三模）若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为.

(1)求椭圆与椭圆的方程；

(2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点.

①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有.

②点M是椭圆上异于C、D的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l的方程.

【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.

【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，由E的上?下顶点，左?右焦点构成一个边长为的正方形.

(1)求E的方程；

(2)过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.

【题型专练】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，过右焦点的